fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – בעיות מינימום ומקסימום (נקודה קרובה ביותר לגרף) – תרגיל 2136

תרגיל 

מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה

f(x)=\sqrt{x}

הקרובה ביותר לנקודה (4,0).

תשובה סופית


(3\frac{1}{2},\sqrt{3\frac{1}{2}})

פתרון

נבחר נקודה (x,y) כלשהי על הגרף. נחשב את המרחק שלה מהנקודה (4,0) בעזרת פונקציית מרחק:

d=\sqrt{{(x-4)}^2+{(y-0)}^2}

d=\sqrt{{(x-4)}^2+y^2}

הנקודה (x,y) על גרף הפונקציה, ולכן מקיימת:

f(x)=y=\sqrt{x}

נציב ונקבל:

d=\sqrt{{(x-4)}^2+x}

אנו רוצים למצוא מרחק מינימלי וזה שקול למציאת נקודת מינימום בפונקציית המרחק. לכן, נמצא מינימום לפונקציה – נגזור ונשווה לאפס:

d'=\frac{1}{2\sqrt{{(x-4)}^2+x}}\cdot (2(x-4)+1)=0

שבר שווה לאפס רק אם המונה שלו שווה לאפס:

2(x-4)+1=0

2x-8+1=0

2x-7=0

2x=7

x=3\frac{1}{2}

מצאנו את ערך ה-x של נקודת המינימום, שהיא הנקודה הקרובה ביותר לנקודה (4,0). נציב בפונקציה כדי למצוא את ערך y של הנקודה:

f(3\frac{1}{2})=\sqrt{3\frac{1}{2}}

אם רוצים לוודא שקיבלנו נקודת מינימום (ולא מקסימום), אפשר לבדוק את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה לפני ואחרי הנקודה. לשם כך, נבחר נקודה לפני הנקודה שמצאנו, למשל x=3 ונקודה אחרי הנקודה שמצאנו, למשל x=4. נציב את שתי הנקודות בנגזרת ונקבל:

d'(3)=\frac{1}{2\sqrt{{(3-4)}^2+3}}\cdot (2(3-4)+1)=

d'(3)=\frac{1}{4}\cdot (-1)<0

d'(4)=\frac{1}{4}\cdot 1>0

ממשפט תחומי העלייה והירידה מקבלים שלפני הנקודה

x=3\frac{1}{2}

הפונקציה יורדת, ואחריה היא עולה

אם מבקשים גם את המרחק המינימלי (המרחק הקצר ביותר), אז מקבלים אותו מהצבת הנקודה בפונקציית המרחק:

d(3\frac{1}{2})=\sqrt{{(3\frac{1}{2}-4)}^2+3\frac{1}{2}}\approx 1.94

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה