fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – בעיות מינימום ומקסימום (שטח מקסימלי) – תרגיל 2169

תרגיל 

רוצים לבנות מלבן בהיקף 400 מטר. באיזה אורך ורוחב כדאי לבחור כדי לקבל שטח מקסימלי?

תשובה סופית


100m

פתרון

נבנה פונקציית שטח. נסמן ב-x את האורך וב-y את הרוחב. אזי פונקציית השטח היא

s=x\cdot y

ופונקציית ההיקף היא

p=2x+2y

נתון שההיקף הוא 400 מטר, לכן מתקיים:

2x+2y=400

x+y=200

נבודד את y:

y=200-x

נציב בפונקציית השטח ונקבל פונקציה במשתנה אחד:

s=x(200-x)=

=200x-x^2

מבקשים שטח מקסימלי. זה שקול למציאת מקסימום בפונקציית השטח. לכן, נגזור ונשווה לאפס:

s'(x)=200-2x=0

נבודד את x:

200=2x

x=100

נמצא את ערך ה-y:

y=200-x=200-100=100

לכן, שטח מקסימלי מתקבל עבור ריבוע באורך וברוחב 100 מטר.

אם רוצים לוודא שזו נקודת מקסימום (ולא מינימום), נגזור שוב:

s''(x)=-2<0

מכיוון שהנגזרת השנייה יצאה שלילית (לכל x, ולכן גם בנקודה שלנו) – הנקודה היא נקודת מקסימום.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה