fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תחום הגדרה – פונקציה רציונלית בתוך שורש – תרגיל 2461

תרגיל 

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה

f(x)=\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2-4x-21}}

תשובה סופית


x<-3 \text{ or } x>7 \text{ or } -1<x<2

פתרון

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. יש בפונקציה שבר, לכן צריך לוודא שהמכנה שונה מאפס:

x^2-4x-21\neq 0

וגם יש בפונקציה שורש, ולכן צריך לוודא שהביטוי בתוך השורש חיובי או אפס:

\frac{x^2-x-2}{x^2-4x-21}\geq 0

נתבונן באי-שוויון השני. מתי שבר גדול או שווה לאפס? כאשר גם המונה וגם המכנה חיוביים או כאשר שניהם שליליים. נבדוק את המקרה הראשון – המונה חיובי או אפס והמכנה חיובי (כי מכנה לא יכול להיות אפס):

x^2-x-2\geq 0

וגם

x^2-4x-21> 0

קיבלנו שני אי-שוויונים ריבועיים. כדי לפתור אי-שוויון ריבועי, צריך לפרק אותו לגורמים. נשתמש בנוסחת השורשים בשני האי-שוויונים ונקבל:

x^2-x-2=(x+1)(x-2)

x^2-4x-21=(x+3)(x-7)

נפתור את האי-שוויון הראשון:

x^2-x-2=(x+1)(x-2)\geq 0

כלומר שורשיו הם: 1-, 2 (זה אומר שהגרף חותך את ציר x בנקודות אלו) והפרבולה (הגרף) בצורת קערה (פרבולה “מחייכת”), כי המקדם של האיבר הריבועי חיובי. לפי סימן האי-שוויון, צריך לבדוק מתי הגרף על ציר x או מעליו. זה קורה כאשר

x\leq -1

או

x\geq 2

נפתור את האי-שוויון השני:

x^2-4x-21=(x+3)(x-7)>0

כלומר שורשיו הם: 3-, 7 (זה אומר שהגרף חותך את ציר x בנקודות אלו) והפרבולה (הגרף) בצורת קערה (פרבולה “מחייכת”), כי המקדם של האיבר הריבועי חיובי. לפי סימן האי-שוויון, צריך לבדוק מתי הגרף מעל ציר x. זה קורה כאשר

x< -3

או

x> 7

נחתוך בקשר “וגם” את שני הפתרונות שקיבלנו (קשר “וגם” כי רוצים גם מונה חיובי וגם מכנה חיובי) ונקבל את הפתרון למקרה הראשון:

x<-3

או

x>7

נבדוק עכשיו את המקרה השני – גם המונה וגם המכנה שליליים, כלומר:

x^2-x-2=(x+1)(x-2)<0

וגם

x^2-4x-21=(x+3)(x-7)<0

נפתור את האי-שוויון הראשון. לפי סימן האי-שוויון, צריך לבדוק מתי הגרף מתחת לציר x. הגרף חותך את ציר x בנקודות: 1-, 2, לכן מקבלים את הפתרון:

-1<x<2

נפתור את האי-שוויון השני. לפי סימן האי-שוויון, צריך לבדוק מתי הגרף מתחת לציר x. הגרף חותך את ציר x בנקודות: 3-, 7, לכן מקבלים את הפתרון:

-3<x<7

נחתוך בקשר “וגם” את שני הפתרונות (קשר “וגם” כי רוצים גם מונה שלילי וגם מכנה שלילי) ונקבל את הפתרון למקרה השני:

-1<x<2

והתשובה הסופית היא חיתוך בקשר “או” של שני הפתרונות – הפתרון של המקרה הראשון והפתרון של המקרה השני – כי הם אינם יכולים להתרחש יחד (או שהמונה והמכנה חיוביים או ששניהם שליליים) ומקבלים:

x<-3

או

-1<x<2

או

x>7

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה