fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תחום הגדרה – פונקציה עם ln ו-sin – תרגיל 2451

תרגיל 

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה

f(x)=\ln (\sin \frac{\pi}{x})

תשובה סופית


\frac{1}{1+2 k}< x<\frac{1}{ 2k}, k>0

\frac{1}{1+2 k}> x>\frac{1}{ 2k}, k<0

x>1, k=0

פתרון

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. יש בפונקציה שבר, לכן צריך לוודא שהמכנה שונה מאפס:

x\neq 0

וגם יש בפונקציה ln, ולכן צריך לוודא שהביטוי בתוך ה-ln חיובי:

\sin \frac{\pi}{x}> 0

נתבונן באי-שוויון. פונקציית sin חיובית בחצי הראשון בכל מחזור שלה. לכן, במחזור הראשון נקבל:

0<\frac{\pi}{x}<\pi

אבל יש לה אינסוף מחזורים. נבטא זאת בעזרת פרמטר k (מספר שלם). נוסיף את המחזור של פונקציית sin בשני האגפים ונקבל

2\pi k < \frac{\pi}{x}< \pi+2\pi k

נסדר את אגף ימין:

2\pi k< \frac{\pi}{x}< \pi (1+2k)

נרצה לבודד את x, כדי לקבל את תחום ההגדרה. נחלק בפאי ונקבל:

2 k< \frac{1}{x}< 1+2k

כעת, רואים שכדי לבודד את x צריך לפרק למקרים: כאשר k=0 נקבל

0< \frac{1}{x}< 1

מאי-שוויון זה מקבלים שעבור x>0 (חיובי) נקבל

x>0\Longrightarrow 0<1<x\Longrightarrow x>1

אבל עבור x<0 (שלילי) נקבל

x<0\Longrightarrow 0>1>x

כלומר, אין פתרון.

זכרו ש-x שונה מאפס, כי אחרת נקבל בפונקציה מכנה שווה אפס, וזה לא מוגדר.

נעבור למצוא את תחום ההגדרה עבור k שונה מאפס. ניזכר באי-שוויון שקיבלנו:

2 k< \frac{1}{x}< 1+2k

שוב, כדי לחלק ב-x או ב-k צריך לקבוע אם הם חיוביים או שליליים. לכן, כאשר k>0 (חיובי) אז עבור x<0 (שלילי) נקבל

\frac{1}{2 k}< x<\frac{1}{ 1+2k}

כלומר, אין פתרון. אבל עבור x>0 (חיובי) נקבל

\frac{1}{1+2 k}< x<\frac{1}{ 2k}

וכאשר k<0 אז עבור x>0 נקבל

\frac{1}{2 k}> x>\frac{1}{1+ 2k}

כלומר, אין פתרון. אבל עבור x<0 נקבל

\frac{1}{1+2 k}>x>\frac{1}{ 2k}

והתשובה הסופית היא איחוד שלוש התשובות שקיבלנו – עבור k=0, k>0 ו-k<0. לכן, מקבלים:

\frac{1}{1+2 k}< x<\frac{1}{ 2k}, k>0

וגם

\frac{1}{1+2 k}> x>\frac{1}{ 2k}, k<0

וגם

x>1, k=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה