fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – סכום טור לפי הגדרה – תרגיל 2613

תרגיל 

האם הטור:

\sum_{n=2}^{\infty} \frac{4}{(4n-3)(4n+1)}

מתכנס? אם כן, חשבו את סכומו.

תשובה סופית


\frac{1}{5}

פתרון

נפרק את האיבר הכללי של הטור לשברים חלקיים ונקבל:

\sum_{n=2}^{\infty} \frac{4}{(4n-3)(4n+1)}=

=\sum_{n=2}^{\infty} (\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1})

נפתור לפי הגדרה. הסכום החלקי של הטור הוא

S_n=\sum_{k=2}^{n}(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k+1})=

=(\frac{1}{5}-\frac{1}{9})+(\frac{1}{9}-\frac{1}{13})+...+(\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1})=

=\frac{1}{5}-\frac{1}{4n+1}

נציב את הסכום החלקי שקיבלנו בגבול ונקבל:

\lim_{n\rightarrow \infty} S_n=

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{5}-\frac{1}{4n+1}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{5}-0=

=\frac{1}{5}

וזה סכום הטור.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה