fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת של פונקציה סתומה – חישוב נגזרת לפונקציה במשתנה אחד – תרגיל 3104

תרגיל 

נתון שהמשוואה:

y-2\sin y=x

מגדירה את הפונקציה הסתומה

y(x)

מצאו את הנגזרות שלה עד סדר שני.

תשובה סופית


y'(x)=\frac{1}{1-2\cos y}

y''(x)=\frac{-2\sin y}{{(1-2\cos y)}^3}

פתרון

נשתמש במשפט הפונקציה הסתומה.

שלב ראשון, נעביר את כל האיברים במשוואה לאגף אחד:

y-2\sin y-x=0

שלב שני, נגדיר פונקציה חדשה. המשתנים שלה יהיו כל המשתנים המופיעים במשוואה. מקבלים את הפונקציה:

z(x,y)=y-2\sin y-x

כעת, נחשב את הנגזרת לפי נוסחת נגזרת לפונקציה סתומה:

y'(x)=\frac{-z'_x}{z'_y}=\frac{-(-1)}{1-2\cos y}

קיבלנו את הנגזרת הראשונה:

y'(x)=\frac{1}{1-2\cos y}

נגזור את הנגזרת הראשונה בעזרת נוסחאות גזירה וכללי גזירה, כדי לקבל את הנגזרת השנייה. שימו לב שאנו גוזרים לפי משתנה x, למרות שרק משתנה y מופיע. לכן, בכל פעם שנצטרך לגזור ביטוי עם y, נשתמש בכלל שרשרת מכללי גזירה ונכפול גם בנגזרת של y (כי y הוא פונקציה של x).

y''(x)=\frac{0\cdot (1-2\cos y)-1\cdot (-2)\cdot (-\sin y)\cdot y'}{{(1-2\cos y)}^2}=

=\frac{-2\sin y\cdot \frac{1}{1-2\cos y}}{{(1-2\cos y)}^2}=

=\frac{-2\sin y}{{(1-2\cos y)}^3}

וקיבלנו שהנגזרת השנייה היא

y''(x)=\frac{-2\sin y}{{(1-2\cos y)}^3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה