fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת של פונקציה סתומה – חישוב נגזרת לפונקציה במשתנה אחד – תרגיל 3114

תרגיל 

נתון שהמשוואה:

x^y=y^x

מגדירה את הפונקציה הסתומה:

y(x)

מצאו את הנגזרת שלה.

תשובה סופית


y'(x)=\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{1-\ln x}{1-\ln y}

פתרון

נשתמש במשפט הפונקציה הסתומה.

שלב ראשון, נעביר את כל האיברים במשוואה לאגף אחד:

x^y-y^x=0

שלב שני, נגדיר פונקציה חדשה. המשתנים שלה יהיו כל המשתנים המופיעים במשוואה. מקבלים את הפונקציה:

z(x,y)=x^y-y^x

כעת, נחשב את הנגזרת לפי נוסחת נגזרת לפונקציה סתומה:

y'(x)=\frac{-z'_x}{z'_y}=\frac{-(yx^{y-1}-y^x\ln y)}{x^y\ln x-xy^{x-1}}=

=-\frac{y}{x}\cdot\frac{yx^y-xy^x\ln y}{yx^y\ln x-xy^x}=

אבל מתקיים:

x^y=y^x

נציב זאת בנגזרת ונקבל:

=-\frac{y}{x}\cdot\frac{yx^y-xx^y\ln y}{yx^y\ln x-xx^y}=

נצמצם ונקבל:

=-\frac{y}{x}\cdot\frac{y-x\ln y}{y\ln x-x}=

כעת, נשים לב שמהשוויון:

x^y=y^x

נובע שמתקיים:

\ln x^y=\ln y^x

ומחוקי לוגריתמים (חוק 4) נקבל:

y\ln x=x\ln y

נשתמש בשוויון שקיבלנו בנגזרת ונקבל:

=-\frac{y}{x}\cdot\frac{y-y\ln x}{x\ln y-x}=

=-\frac{y}{x}\cdot\frac{y(1-\ln x)}{x(\ln y-1)}=

=-\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{1-\ln x}{\ln y-1}=

=\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{1-\ln x}{1-\ln y}

וקיבלנו שהנגזרת היא

y'(x)=\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{1-\ln x}{1-\ln y}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה