fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 3384

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

u(x,y,z)=f(x-y, y-z, z-x)

גזירה. הוכיחו שמתקיים:

u'_x+u'_y+u'_z=0

הוכחה

כאשר יש לנו פונקציה ובסוגריים יש ביטוי מורכב במקום משתנה פשוט, נגדיר משתנה חדש כך:

v=x-y

w=y-z

t=z-x

קיבלנו את הפונקציה:

u(x,y,z)=f(v,w,t)

כעת נשתמש בכלל השרשרת ונקבל:

u'_x=f'_v\cdot v'_x+f'_w\cdot w'_x+f'_t\cdot t'_x

u'_y=f'_v\cdot v'_y+f'_w\cdot w'_y+f'_t\cdot t'_y

u'_z=f'_v\cdot v'_z+f'_w\cdot w'_z+f'_t\cdot t'_z

נחשב את הנגזרות של v,w,z:

v'_x=1

v'_y=-1

v'_z=0

w'_x=0

w'_y=1

w'_z=-1

t'_x=-1

t'_y=0

t'_z=1

נציב בנגזרות של u ונקבל:

u'_x=f'_v\cdot v'_x+f'_w\cdot w'_x+f'_t\cdot t'_x=

=f'_v\cdot 1+f'_w\cdot 0+f'_t\cdot (-1)=

=f'_v-f'_t

u'_y=f'_v\cdot -1+f'_w\cdot w'_y+f'_t\cdot t'_y=

=f'_v\cdot (-1)+f'_w\cdot 1+f'_t\cdot 0=

=-f'_v+f'_w

u'_z=f'_v\cdot v'_z+f'_w\cdot w'_z+f'_t\cdot t'_z=

=f'_v\cdot 0+f'_w\cdot (-1)+f'_t\cdot 1=

=-f'_w+f'_t

נציב את הנגזרות במשוואה שצריך להוכיח:

u'_x+u'_y+u'_z=

=(f'_v-f'_t)+(-f'_v+f'_w)+(-f'_w+f'_t)=

=f'_v-f'_t-f'_v+f'_w-f'_w+f'_t=0

לסיכום, קיבלנו:

u'_x+u'_y+u'_z=0

כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה