fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 3381

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

u(x,y,z)=f(x^2z-yz)

גזירה. הוכיחו שמתקיים:

xu'_x+2yu'_y-2zu'_z=0

הוכחה

כאשר יש לנו פונקציה ובסוגריים יש ביטוי מורכב במקום משתנה פשוט, נגדיר משתנה חדש כך:

t=x^2z-yz

קיבלנו את הפונקציה:

u(x,y,z)=f(t)

או פשוט:

u(x,y,z)=f

כעת נשתמש בכלל השרשרת ונקבל:

u'_x=f'_t\cdot t'_x

u'_y=f'_t\cdot t'_y

u'_z=f'_t\cdot t'_z

נחשב את הנגזרות של t:

t'_x=2xz

t'_y=-z

t'_z=x^2-y

נציב בנגזרות של u ונקבל:

u'_x=f'_t\cdot t'_x=f'_t\cdot 2xz

u'_y=f'_t\cdot t'_y=f'_t\cdot (-z)

u'_z=f'_t\cdot t'_z=f'_t\cdot (x^2-y)

נציב את הנגזרות במשוואה שצריך להוכיח:

xu'_x+2yu'_y-2zu'_z=

=xf'_t\cdot 2xz+2yf'_t\cdot (-z)-2zf'_t\cdot (x^2-y)=

=2zx^2f'_t-2yzf'_t-2zx^2f'_t +2yzf'_t=0

לסיכום, קיבלנו:

xu'_x+2yu'_y-2zu'_z=0

כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?