fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 3375

תרגיל 

נתון שפונקציה:

z(x,y)=e^yf(ye^{\frac{x^2}{2y^2}})

גזירה. הוכיחו שמתקיים:

(x^2-y^2)\cdot z'_x+xy\cdot z'_y=xyz

הוכחה

כאשר יש לנו פונקציה ובסוגריים יש ביטוי מורכב במקום משתנה פשוט, נגדיר משתנה חדש כך:

t=ye^{\frac{x^2}{2y^2}}

קיבלנו את הפונקציה:

z(x,y)=e^yf(t)

או פשוט:

z(x,y)=e^yf

כעת נשתמש בכלל השרשרת ונקבל:

כאשר גוזרים לפי x, משתנה y נחשב לפרמטר (קבוע), ולכן מקבלים:

z'_x=e^y\cdot f'_t\cdot t'_x

שימו לב שכאשר נגזור את הפונקציה לפי y, נקבל נגזרת של מכפלה, כי y מופיע גם בביטוי לפני פונקציה f. לכן, מקבלים:

z'_y=e^y\cdot f + e^y\cdot f'_t\cdot t'_y

נחשב את הנגזרות של t:

t'_x=ye^{\frac{x^2}{2y^2}}\cdot \frac{2x}{2y^2}=

=ye^{\frac{x^2}{2y^2}}\cdot \frac{x}{y^2}=

=e^{\frac{x^2}{2y^2}}\cdot \frac{x}{y}

שימו לב שהנגזרת לפי y היא נגזרת של מכפלה, לכן נקבל:

t'_y=1\cdot e^{\frac{x^2}{2y^2}}+y\cdot e^{\frac{x^2}{2y^2}}\cdot \frac{-x^2}{4y^4}\cdot 4y=

t'_y=e^{\frac{x^2}{2y^2}}(1-y\cdot \frac{x^2}{y^3})=

t'_y=e^{\frac{x^2}{2y^2}}(1-\frac{x^2}{y^2})

נציב בנגזרות של z ונקבל:

z'_x=e^y\cdot f'_t\cdot e^{\frac{x^2}{2y^2}}\cdot \frac{x}{y}

z'_y=e^y\cdot f + e^y\cdot f'_t\cdot e^{\frac{x^2}{2y^2}}(1-\frac{x^2}{y^2})

נציב את הנגזרות במשוואה שצריך להוכיח:

(x^2-y^2)\cdot z'_x+xy\cdot z'_y=

=(x^2-y^2)\cdot e^y\cdot f'_t\cdot e^{\frac{x^2}{2y^2}}\cdot \frac{x}{y}+xy\cdot (e^y\cdot f + e^y\cdot f'_t\cdot e^{\frac{x^2}{2y^2}}(1-\frac{x^2}{y^2})=

נפתח סוגריים:

=\frac{x^3}{y}e^ye^{\frac{x^2}{2y^2}}f'_t-xye^ye^{\frac{x^2}{2y^2}}f'_t+xye^yf +xye^yf'_t e^{\frac{x^2}{2y^2}}-xye^yf'_t\frac{x^2}{y^2}e^{\frac{x^2}{2y^2}}=

נשים לב שהאיברים השני והרביעי זהים ובעלי סימן הפוך, לכן הם מתבטלים ומקבלים:

=\frac{x^3}{y}e^ye^{\frac{x^2}{2y^2}}f'_t+xye^yf +-xye^yf'_t\frac{x^2}{y^2}e^{\frac{x^2}{2y^2}}=

=\frac{x^3}{y}e^ye^{\frac{x^2}{2y^2}}f'_t+xye^yf +-e^yf'_t\frac{x^3}{y}e^{\frac{x^2}{2y^2}}=

קיבלנו שהאיברים הראשון והשלישי זהים ובעלי סימן הפוך, לכן הם מתבטלים ומקבלים:

=xye^yf=

אבל מתקיים:

z=e^yf

נציב ונקבל:

=xyz

לסיכום, קיבלנו:

(x^2-y^2)\cdot z'_x+xy\cdot z'_y=xyz

כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה