fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 3370

תרגיל 

נתון שפונקציה:

z(x,y)=f(x^2-y^2)

גזירה. הוכיחו שמתקיים:

y\cdot z'_x+x\cdot z'_y=0

הוכחה

כאשר יש לנו פונקציה ובסוגריים יש ביטוי מורכב במקום משתנה פשוט, נגדיר משתנה חדש כך:

t=x^2-y^2

כעת נשתמש בכלל השרשרת ונקבל:

z'_x=f'_t\cdot t'_x

z'_y=f'_t\cdot t'_y

נחשב את הנגזרות של t:

t'_x=2x

t'_y=-2y

נציב בנגזרות של z ונקבל:

z'_x=f'_t\cdot 2x

z'_y=f'_t\cdot (-2y)

נציב את הנגזרות במשוואה שצריך להוכיח:

y\cdot z'_x+x\cdot z'_y=

=y\cdot f'_t\cdot 2x-x\cdot f'_t\cdot 2y=

=2xy\cdot f'_t-2xy\cdot f'_t=0

קיבלנו:

y\cdot z'_x+x\cdot z'_y=0

כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה