fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – תרגיל 3367

תרגיל 

נתון:

u(x,y)=e^{xy^2}

f(t)=t\cos t

g(t)=t\sin t

U(t)=u(f(t),g(t))

חשבו את הנגזרת

U'(t)

תשובה סופית

U'(t)=t\sin te^{t^3\cos t\sin t}\cdot[t\sin t(\cos t -t\sin t)+2t\cos t(\sin t+t\cos t)]

פתרון

נשתמש בכלל השרשרת:

U'(t)=u'_f\cdot f'_t+u'_g\cdot g'_t

מהנתונים מתקיים:

U(t)=u(f(t),g(t))

ופונקציה u היא

u(x,y)=e^{xy^2}

לכן, נציב בפונקציה u את f,g ונקבל:

u(f,g)=e^{fg^2}

מכאן, הנגזרות החלקיות של u הן

u'_f=g^2e^{fg^2}

u'_g=2gfe^{fg^2}

כמו כן, הפונקציות f,g נתונות בשאלה ואפשר לגזור אותן לפי t. מקבלים:

f'_t=\cos t -t\sin t

g'_t=\sin t+t\cos t

נציב את כל הנגזרות ונקבל:

U'(t)=u'_f\cdot f'_t+u'_g\cdot g'_t=

=g^2e^{fg^2}\cdot(\cos t -t\sin t)+2gfe^{fg^2}\cdot (\sin t+t\cos t)=

=ge^{fg^2}\cdot[g(\cos t -t\sin t)+2f\cdot (\sin t+t\cos t)]=

כעת, אפשר להציב את f,g ונקבל:

=t\sin te^{t\cos t{(t\sin t)}^2}\cdot[t\sin t(\cos t -t\sin t)+2t\cos t\cdot (\sin t+t\cos t)]=

=t\sin te^{t^3\cos t\sin t}\cdot[t\sin t(\cos t -t\sin t)+2t\cos t(\sin t+t\cos t)]

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה