fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – תרגיל 3350

תרגיל 

נתון:

z(x,y)=\arctan (\frac{x}{y})

f(u,v)=u\sin v

g(u,v)=u\cos v

Z(u,v)=z(f(u,v),g(u,v))

חשבו את הנגזרות

Z'_u,Z'_v

תשובה סופית

Z'_u=0

Z'_v=1

פתרון

נחשב את הנגזרת לפי u. נשתמש בכלל השרשרת:

Z'_u=z'_f\cdot f'_u+z'_g\cdot g'_u

מהנתונים מתקיים:

Z(u,v)=z(f(u,v),g(u,v))

ופונקציה z היא

z(x,y)=\arctan(\frac{x}{y})

לכן, נציב בפונקציה z את f,g ונקבל:

z(f,g)=\arctan(\frac{f}{g})

מכאן, הנגזרות החלקיות של z הן

z'_f=\frac{1}{1+{(\frac{f}{g})}^2}\cdot \frac{1}{g}

z'_g=\frac{1}{1+{(\frac{f}{g})}^2}\cdot \frac{-f}{g^2}

כמו כן, הפונקציות f,g נתונות בשאלה ואפשר לגזור אותן לפי u. מקבלים:

f'_u=\sin v

g'_u=\cos v

נציב את כל הנגזרות ונקבל:

Z'_u=z'_f\cdot f'_u+z'_g\cdot g'_u=

=\frac{1}{1+{(\frac{f}{g})}^2}\cdot \frac{1}{g}\cdot \sin v+\frac{1}{1+{(\frac{f}{g})}^2}\cdot \frac{-f}{g^2}\cdot \cos v=

כעת, אפשר להציב את f,g ונקבל:

=\frac{1}{1+{(\frac{u\sin v}{u\cos v})}^2}\cdot \frac{1}{u\cos v}\cdot \sin v+\frac{1}{1+{(\frac{u\sin v}{u\cos v})}^2}\cdot \frac{-u\sin v}{{(u\cos v)}^2}\cdot \cos v=

=\frac{1}{1+{(\frac{u\sin v}{u\cos v})}^2}(\frac{\sin v}{u\cos v}+\frac{-u\sin v}{u^2\cos^2 v}\cdot \cos v)=

=\frac{1}{1+{(\frac{u\sin v}{u\cos v})}^2}(\frac{\sin v}{u\cos v}-\frac{\sin v}{u\cos v})=

=\frac{1}{1+{(\frac{u\sin v}{u\cos v})}^2}\cdot 0=0

נחשב את הנגזרת לפי y. נשתמש בכלל השרשרת:

Z'_v=z'_f\cdot f'_v+z'_g\cdot g'_v

קיבלנו לעיל שהנגזרות החלקיות של z הן

z'_f=\frac{1}{1+{(\frac{f}{g})}^2}\cdot \frac{1}{g}

z'_g=\frac{1}{1+{(\frac{f}{g})}^2}\cdot \frac{-f}{g^2}

כמו כן, נגזור את הפונקציות f,g לפי v ונקבל:

f'_v=u\cos v

g'_v=-u\sin v

נציב את כל הנגזרות ונקבל:

Z'_v=z'_f\cdot f'_v+z'_g\cdot g'_v

=\frac{1}{1+{(\frac{f}{g})}^2}\cdot \frac{1}{g}\cdot u\cos v+\frac{1}{1+{(\frac{f}{g})}^2}\cdot \frac{-f}{g^2}\cdot(-u\sin v)=

כעת, נציב את f,g ונקבל:

=\frac{1}{1+{(\frac{u\sin v}{u\cos v})}^2}\cdot \frac{1}{u\cos v}\cdot u\cos v+\frac{1}{1+{(\frac{u\sin v}{u\cos v})}^2}\cdot \frac{-u\sin v}{{(u\cos v)}^2}\cdot(-u\sin v)=

=\frac{1}{1+{(\frac{u\sin v}{u\cos v})}^2}(\frac{u\cos v}{u\cos v} +\frac{-u\sin v}{{(u\cos v)}^2}\cdot(-u\sin v))=

=\frac{1}{1+\frac{\sin^2 v}{\cos^2 v}}(1+\frac{u^2\sin^2 v}{u^2\cos^2 v})=

=\frac{1}{1+\tan^2 v}(1+\tan^2 v)=

=\frac{1+\tan^2 v}{1+\tan^2 v}=1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה