fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – תרגיל 3329

תרגיל 

נתון:

z(t,x,y)=\tan (3t+2x^2-y)

f(t)=\frac{1}{t}

v(t)=\sqrt{t}

Z(t)=z(t,f(t),v(t))

חשבו את הנגזרת

Z'(t)

תשובה סופית

Z'(t)=\frac{3+\frac{-4}{t^3}-\frac{1}{2\sqrt{t}}}{\cos^2(3t+\frac{2}{t^2}-\sqrt{t})}

פתרון

נשתמש בכלל השרשרת:

Z'(t)=z'_t+z'_f\cdot f'_t+z'_v\cdot v'_t

מהנתונים מתקיים:

Z(t)=z(t,f,v)

ופונקציה z היא

z(t,x,y)=\tan (3t+2x^2-y)

לכן, נציב בפונקציה z את f,v ונקבל:

z(t,f,v)=\tan (3t+2f^2-v)

מכאן, הנגזרות החלקיות של z הן

z'_t=\frac{1}{\cos^2(3t+2f^2-v)}\cdot 3=

=\frac{3}{\cos^2(3t+2f^2-v)}

z'_f=\frac{1}{\cos^2(3t+2f^2-v)}\cdot 4f=

=\frac{4f}{\cos^2(3t+2f^2-v)}

z'_v=\frac{1}{\cos^2(3t+2f^2-v)}\cdot (-1)=

=\frac{-1}{\cos^2(3t+2f^2-v)}

כמו כן, הפונקציות f,v נתונות בשאלה ואפשר לגזור אותן לפי t. מקבלים:

f'_t=\frac{-1}{t^2}

v'_t=\frac{1}{2\sqrt{t}}

נציב את כל הנגזרות ונקבל:

Z'(t)=z'_t+z'_f\cdot f'_t+z'_v\cdot v'_t=

=\frac{3}{\cos^2(3t+2f^2-v)}+\frac{4f}{\cos^2(3t+2f^2-v)}\cdot \frac{-1}{t^2}+\frac{-1}{\cos^2(3t+2f^2-v)}\cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}=

כעת, נציב את f,v ונקבל:

=\frac{3}{\cos^2(3t+2{(\frac{1}{t})}^2-\sqrt{t})}+\frac{4\frac{1}{t}}{\cos^2(3t+2{(\frac{1}{t})}^2-\sqrt{t})}\cdot \frac{-1}{t^2}+\frac{-1}{\cos^2(3t+2{(\frac{1}{t})}^2-\sqrt{t})}\cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}=

=\frac{1}{\cos^2(3t+\frac{2}{t^2}-\sqrt{t})}(3+\frac{4}{t}\cdot \frac{-1}{t^2}-\frac{1}{2\sqrt{t}})=

=\frac{1}{\cos^2(3t+\frac{2}{t^2}-\sqrt{t})}(3+\frac{-4}{t^3}-\frac{1}{2\sqrt{t}})=

=\frac{3+\frac{-4}{t^3}-\frac{1}{2\sqrt{t}}}{\cos^2(3t+\frac{2}{t^2}-\sqrt{t})}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה