fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – תרגיל 3327

תרגיל 

נתון:

u(x,y)=\ln (e^x+e^y)

v(x)=x^3

U(t)=u(x,v(x))

חשבו את הנגזרת

U'(x)

תשובה סופית

U'(x)=\frac{e^x}{e^x+e^{x^3}}+\frac{3x^2e^{x^3}}{e^x+e^{x^3}}

פתרון

נשתמש בכלל השרשרת:

U'(x)=u'_x+u'_v\cdot v'_x

מהנתונים מתקיים:

U(x)=u(x,v(x))

ופונקציה u היא

u(x,y)=\ln (e^x+e^y)

לכן, נציב בפונקציה u את x,v ונקבל:

u(x,v)=\ln (e^x+e^{v})

מכאן, הנגזרות החלקיות של u הן

u'_x=\frac{1}{e^x+e^v}\cdot e^x=

=\frac{e^x}{e^x+e^v}

u'_v=\frac{1}{e^x+e^v}\cdot e^v=

=\frac{e^v}{e^x+e^v}

כמו כן, הפונקציה v לפי x נתונה בשאלה ואפשר לגזור אותה לפי x. מקבלים:

v'_x=3x^2

נציב את כל הנגזרות ונקבל:

U'(x)=u'_x+u'_v\cdot v'_x=

=\frac{e^x}{e^x+e^v}+\frac{e^v}{e^x+e^v}\cdot 3x^2

כעת, נציב את v ונקבל:

=\frac{e^x}{e^x+e^{x^3}}+\frac{e^{x^3}}{e^x+e^{x^3}}\cdot 3x^2

=\frac{e^x}{e^x+e^{x^3}}+\frac{3x^2e^{x^3}}{e^x+e^{x^3}}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה