fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – תרגיל 3324

תרגיל 

נתון:

z(u,v)=u^2\ln v

f(x,y)=\frac{x}{y}

g(x,y)=\frac{y}{x}

Z(x,y)=z(f(x,y),g(x,y))

חשבו את הנגזרות

Z'_x,Z'_y

תשובה סופית

Z'_x=\frac{2x}{y^2}\ln \frac{y}{x}-\frac{x}{y^2}

Z'_y=\frac{-2x^2}{y^3}\ln \frac{y}{x}+\frac{x^2}{y^3}

פתרון

נחשב את הנגזרת לפי x. נשתמש בכלל השרשרת:

Z'_x=z'_f\cdot f'_x+z'_g\cdot g'_x

מהנתונים מתקיים:

Z(x,y)=z(f(x,y),g(x,y))

ופונקציה z היא

z(u,v)=u^2\ln v

לכן, נציב בפונקציה z את f,g ונקבל:

z(f,g)=f^2\ln g

מכאן, הנגזרות החלקיות של z הן

z'_f=2f\ln g

z'_g=\frac{f^2}{g}

כמו כן, הפונקציות f,g נתונות בשאלה ואפשר לגזור אותן לפי x. מקבלים:

f'_x=\frac{1}{y}

g'_x=\frac{-y}{x^2}

נציב את כל הנגזרות ונקבל:

Z'_x=z'_f\cdot f'_x+z'_g\cdot g'_x=

=2f\ln g\cdot \frac{1}{y}+\frac{f^2}{g}\cdot\frac{-y}{x^2}=

כעת, אפשר להציב את f,g ונקבל:

=2\frac{x}{y}\ln \frac{y}{x}\cdot \frac{1}{y}+\frac{{(\frac{x}{y})}^2}{\frac{y}{x}}\cdot\frac{-y}{x^2}=

=\frac{2x}{y^2}\ln \frac{y}{x}-\frac{x^3}{y^3}\cdot\frac{y}{x^2}=

=\frac{2x}{y^2}\ln \frac{y}{x}-\frac{x}{y^2}

נחשב את הנגזרת לפי y. נשתמש בכלל השרשרת:

Z'_y=z'_f\cdot f'_y+z'_g\cdot g'_y

קיבלנו לעיל שהנגזרות החלקיות של z הן

z'_f=2f\ln g

z'_g=\frac{f^2}{g}

כמו כן, נגזור את הפונקציות f,g לפי y ונקבל:

f'_y=\frac{-x}{y^2}

g'_y=\frac{1}{x}

נציב את כל הנגזרות ונקבל:

Z'_y=z'_f\cdot f'_y+z'_g\cdot g'_y=

=2f\ln g\cdot \frac{-x}{y^2}+\frac{f^2}{g}\cdot\frac{1}{x}=

כעת, נציב את f,g ונקבל:

=2\frac{x}{y}\ln \frac{y}{x}\cdot \frac{-x}{y^2}+\frac{{(\frac{x}{y})}^2}{\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{x}=

=\frac{-2x^2}{y^3}\ln \frac{y}{x}+\frac{x^3}{y^3}\cdot\frac{1}{x}=

=\frac{-2x^2}{y^3}\ln \frac{y}{x}+\frac{x^2}{y^3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה