fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – תרגיל 3315

תרגיל 

נתון:

v(x,y)=\frac{x}{y}

f(t)=te^{2t}

g(t)=\ln (t^2+\ln (5t))

V(t)=v(f(t),g(t))

חשבו את הנגזרת

V'(t)

תשובה סופית

V'(t)=\frac{1}{\ln (t^2+\ln (5t))}[(e^{2t}+t\cdot 2e^{2t})-\frac{te^{2t}}{t^2+\ln (5t)}(2t+\frac{1}{t})]

פתרון

נשתמש בכלל השרשרת:

V'(t)=v'_f\cdot f'_t+v'_g\cdot g'_t

מהנתונים מתקיים:

V(t)=v(f(t),g(t))

ופונקציה v היא

v(x,y)=\frac{x}{y}

לכן, נציב בפונקציה v את f,g ונקבל:

u(f,g)=\frac{f}{g}

מכאן, הנגזרות החלקיות של v הן

v'_f=\frac{1}{g}

v'_g=\frac{-f}{g^2}

כמו כן, הפונקציות f,g לפי t נתונות בשאלה ואפשר לגזור אותן לפי t. מקבלים:

f'_t=e^{2t}+t\cdot 2e^{2t}

g'_t=\frac{1}{t^2+\ln (5t)}(2t+\frac{1}{5t}\cdot 5)=

=\frac{1}{t^2+\ln (5t)}(2t+\frac{1}{t})

נציב את כל הנגזרות ונקבל:

V'(t)=v'_f\cdot f'_t+v'_g\cdot g'_t=

=\frac{1}{g}\cdot(e^{2t}+t\cdot 2e^{2t})+\frac{-f}{g^2}\cdot\frac{1}{t^2+\ln (5t)}(2t+\frac{1}{t})=

כעת, אפשר להציב את f,g ונקבל:

=\frac{1}{\ln (t^2+\ln (5t))}\cdot(e^{2t}+t\cdot 2e^{2t})+\frac{-te^{2t}}{\ln^2 (t^2+\ln (5t))}\cdot\frac{1}{t^2+\ln (5t)}(2t+\frac{1}{t})=

=\frac{1}{\ln (t^2+\ln (5t))}[(e^{2t}+t\cdot 2e^{2t})-\frac{te^{2t}}{t^2+\ln (5t)}(2t+\frac{1}{t})]

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה