fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – תרגיל 3313

תרגיל 

נתון:

u(x,y,z)=x^2+y^2+xz

f(t)=\sin (4t)

g(t)=e^{-t}

h(t)=t^3

U(t)=u(f(t),g(t),h(t))

חשבו את הנגזרת

U'(t)

תשובה סופית

U'(t)=(2\sin (4t)+t^3)\cdot 4\cos (4t)-2e^{-2t}+3t^2\sin(4t)

פתרון

נשתמש בכלל השרשרת:

U'(t)=u'_f\cdot f'_t+u'_g\cdot g'_t+u'_h\cdot h'_t

מהנתונים מתקיים:

U(t)=u(f(t),g(t),h(t))

ופונקציה u היא

u(x,y,z)=x^2+y^2+xz

לכן, נציב בפונקציה u את f,g,h ונקבל:

u(f,g,h)=f^2+g^2+fh

מכאן, הנגזרות החלקיות של u הן

u'_f=2f+h

u'_g=2g

u'_h=f

כמו כן, הפונקציות f,g,h נתונות בשאלה ואפשר לגזור אותן לפי t. מקבלים:

f'_t=4\cos (4t)

g'_t=-e^{-t}

h'_t=3t^2

נציב את כל הנגזרות ונקבל:

U'(t)=u'_f\cdot f'_t+u'_g\cdot g'_t+u'_h\cdot h'_t=

=(2f+h)\cdot 4\cos (4t)+2g\cdot (-e^{-t})+f\cdot 3t^2=

כעת, אפשר להציב את f,g,h ונקבל:

=(2\sin (4t)+t^3)\cdot 4\cos (4t)+2e^{-t}\cdot (-e^{-t})+\sin(4t)\cdot 3t^2=

=(2\sin (4t)+t^3)\cdot 4\cos (4t)-2e^{-2t}+3t^2\sin(4t)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה