fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

וקטורים – חישוב מכפלה סקלרית של וקטורים – תרגיל 3564

תרגיל 

הווקטורים:

\vec{a},\vec{b}

יוצרים זווית של 120 מעלות ומתקיים:

|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4

חשבו:

\vec{a}\cdot \vec{a}

\vec{a}\cdot \vec{b}

{(\vec{a}+ \vec{a})}^2

(3\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b})

תשובה סופית

\vec{a}\cdot \vec{a}=9

\vec{a}\cdot \vec{b}=-6

{(\vec{a}+ \vec{a})}^2=13

(3\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b})=43

פתרון

כל המכפלות בתרגילים הן מכפלה סקלרית, כלומר תוצאתן היא סקלר (=מספר). נתחיל בחישובים:

\vec{a}\cdot \vec{a}=

נשתמש בנוסחה של מכפלה סקלרית עם זווית אפס, כי זווית של וקטור עם עצמו היא אפס. נקבל:

=|\vec{a}|\cdot |\vec{a}|\cdot \cos 0=

=3\cdot 3\cdot 1=9

נחשב את התרגיל השני באותו אופן:

\vec{a}\cdot \vec{b}=

=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos 120^{\circ}=

=3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}=-6

נחשב את התרגיל השלישי:

{(\vec{a}+ \vec{a})}^2=

שימו לב שאפשר לפתוח סוגריים, ממש כמו במספרים רגילים. נפתח סוגריים ונקבל:

=\vec{a}^2+2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}^2=

ניעזר בנוסחאות של וקטורים ונקבל:

=|\vec{a}|^2+2|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos 120^{\circ}+|\vec{b}|^2=

=3^2+2\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}+4^2=

=9+(-12)+16=13

נחשב את התרגיל הרביעי:

(3\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b})=

שוב, נפתח סוגריים ונקבל:

=3\vec{a}^2+6\vec{a}\vec{b}+2\vec{b}\vec{a}+4\vec{b}^2=

שוב, ניעזר בנוסחאות של וקטורים ונקבל:

=3|\vec{a}|^2+6\vec{a}\vec{b}+2\vec{a}\vec{b}+4|\vec{b}|^2=

=3\cdot 3^2+8\vec{a}\vec{b}+4\cdot 4^2=

=27+8|\vec{a}||\vec{b}|\cdot cos 120^{\circ}+64=

=27+8\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}+64=

=27-48+64=43

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה