תרגיל
הווקטורים:
\vec{a},\vec{b}
יוצרים זווית של 120 מעלות ומתקיים:
|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4
חשבו:
\vec{a}\cdot \vec{a}
\vec{a}\cdot \vec{b}
{(\vec{a}+ \vec{a})}^2
(3\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b})
תשובה סופית
פתרון מפורט
כל המכפלות בתרגילים הן מכפלה סקלרית, כלומר תוצאתן היא סקלר (=מספר). נתחיל בחישובים:
\vec{a}\cdot \vec{a}=
נשתמש בנוסחה של מכפלה סקלרית עם זווית אפס, כי זווית של וקטור עם עצמו היא אפס. נקבל:
=|\vec{a}|\cdot |\vec{a}|\cdot \cos 0=
=3\cdot 3\cdot 1=9
נחשב את התרגיל השני באותו אופן:
\vec{a}\cdot \vec{b}=
=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos 120^{\circ}=
=3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}=-6
נחשב את התרגיל השלישי:
{(\vec{a}+ \vec{a})}^2=
שימו לב שאפשר לפתוח סוגריים, ממש כמו במספרים רגילים. נפתח סוגריים ונקבל:
=\vec{a}^2+2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}^2=
ניעזר בנוסחאות של וקטורים ונקבל:
=|\vec{a}|^2+2|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos 120^{\circ}+|\vec{b}|^2=
=3^2+2\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}+4^2=
=9+(-12)+16=13
נחשב את התרגיל הרביעי:
(3\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b})=
שוב, נפתח סוגריים ונקבל:
=3\vec{a}^2+6\vec{a}\vec{b}+2\vec{b}\vec{a}+4\vec{b}^2=
שוב, ניעזר בנוסחאות של וקטורים ונקבל:
=3|\vec{a}|^2+6\vec{a}\vec{b}+2\vec{a}\vec{b}+4|\vec{b}|^2=
=3\cdot 3^2+8\vec{a}\vec{b}+4\cdot 4^2=
=27+8|\vec{a}||\vec{b}|\cdot cos 120^{\circ}+64=
=27+8\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}+64=
=27-48+64=43
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
