וקטורים – חישוב מכפלה סקלרית של וקטורים – תרגיל 3564

תרגיל 

הווקטורים:

a,b\vec{a},\vec{b}

יוצרים זווית של 120 מעלות ומתקיים:

a=3,b=4|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4

חשבו:

aa\vec{a}\cdot \vec{a}

ab\vec{a}\cdot \vec{b}

(a+a)2{(\vec{a}+ \vec{a})}^2

(3a+2b)(a+2b)(3\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b})

תשובה סופית

aa=9\vec{a}\cdot \vec{a}=9

ab=6\vec{a}\cdot \vec{b}=-6

(a+a)2=13{(\vec{a}+ \vec{a})}^2=13

(3a+2b)(a+2b)=43(3\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b})=43

פתרון מפורט

כל המכפלות בתרגילים הן מכפלה סקלרית, כלומר תוצאתן היא סקלר (=מספר). נתחיל בחישובים:

aa=\vec{a}\cdot \vec{a}=

נשתמש בנוסחה של מכפלה סקלרית עם זווית אפס, כי זווית של וקטור עם עצמו היא אפס. נקבל:

=aacos0==|\vec{a}|\cdot |\vec{a}|\cdot \cos 0=

=331=9=3\cdot 3\cdot 1=9

נחשב את התרגיל השני באותו אופן:

ab=\vec{a}\cdot \vec{b}=

=abcos120==|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos 120^{\circ}=

=3412=6=3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}=-6

נחשב את התרגיל השלישי:

(a+a)2={(\vec{a}+ \vec{a})}^2=

שימו לב שאפשר לפתוח סוגריים, ממש כמו במספרים רגילים. נפתח סוגריים ונקבל:

=a2+2ab+b2==\vec{a}^2+2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}^2=

ניעזר בנוסחאות של וקטורים ונקבל:

=a2+2abcos120+b2==|\vec{a}|^2+2|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos 120^{\circ}+|\vec{b}|^2=

=32+23412+42==3^2+2\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}+4^2=

=9+(12)+16=13=9+(-12)+16=13

נחשב את התרגיל הרביעי:

(3a+2b)(a+2b)=(3\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b})=

שוב, נפתח סוגריים ונקבל:

=3a2+6ab+2ba+4b2==3\vec{a}^2+6\vec{a}\vec{b}+2\vec{b}\vec{a}+4\vec{b}^2=

שוב, ניעזר בנוסחאות של וקטורים ונקבל:

=3a2+6ab+2ab+4b2==3|\vec{a}|^2+6\vec{a}\vec{b}+2\vec{a}\vec{b}+4|\vec{b}|^2=

=332+8ab+442==3\cdot 3^2+8\vec{a}\vec{b}+4\cdot 4^2=

=27+8abcos120+64==27+8|\vec{a}||\vec{b}|\cdot cos 120^{\circ}+64=

=27+83412+64==27+8\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}+64=

=2748+64=43=27-48+64=43

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה