וקטורים – חישוב מכפלה סקלרית של וקטורים – תרגיל 3564

תרגיל 

הווקטורים:

$\vec{a},\vec{b}$

יוצרים זווית של 120 מעלות ומתקיים:

$|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4$

חשבו:

$\vec{a}\cdot \vec{a}$

$\vec{a}\cdot \vec{b}$

${(\vec{a}+ \vec{a})}^2$

$(3\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b})$

תשובה סופית

הצגת תשובה סופית

פתרון מפורט

כל המכפלות בתרגילים הן מכפלה סקלרית, כלומר תוצאתן היא סקלר (=מספר). נתחיל בחישובים:

$\vec{a}\cdot \vec{a}=$

נשתמש בנוסחה של מכפלה סקלרית עם זווית אפס, כי זווית של וקטור עם עצמו היא אפס. נקבל:

$=|\vec{a}|\cdot |\vec{a}|\cdot \cos 0=$

$=3\cdot 3\cdot 1=9$

נחשב את התרגיל השני באותו אופן:

$\vec{a}\cdot \vec{b}=$

$=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos 120^{\circ}=$

$=3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}=-6$

נחשב את התרגיל השלישי:

${(\vec{a}+ \vec{a})}^2=$

שימו לב שאפשר לפתוח סוגריים, ממש כמו במספרים רגילים. נפתח סוגריים ונקבל:

$=\vec{a}^2+2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}^2=$

ניעזר בנוסחאות של וקטורים ונקבל:

$=|\vec{a}|^2+2|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos 120^{\circ}+|\vec{b}|^2=$

$=3^2+2\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}+4^2=$

$=9+(-12)+16=13$

נחשב את התרגיל הרביעי:

$(3\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b})=$

שוב, נפתח סוגריים ונקבל:

$=3\vec{a}^2+6\vec{a}\vec{b}+2\vec{b}\vec{a}+4\vec{b}^2=$

שוב, ניעזר בנוסחאות של וקטורים ונקבל:

$=3|\vec{a}|^2+6\vec{a}\vec{b}+2\vec{a}\vec{b}+4|\vec{b}|^2=$

$=3\cdot 3^2+8\vec{a}\vec{b}+4\cdot 4^2=$

$=27+8|\vec{a}||\vec{b}|\cdot cos 120^{\circ}+64=$

$=27+8\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{-1}{2}+64=$

$=27-48+64=43$

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות