fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת של פונקציה סתומה – חישוב נגזרת לפונקציה במשתנה אחד – תרגיל 4344

תרגיל 

נתון שהמשוואה:

\arctan\frac{y}{x}=\ln\sqrt{x^2+y^2}

מגדירה את הפונקציה הסתומה:

y(x)

חשבו את הנגזרת שלה.

תשובה סופית


y'(x)=\frac{x+y}{x-y}

פתרון

נשתמש במשפט הפונקציה הסתומה.

שלב ראשון, נעביר את כל האיברים במשוואה לאגף אחד:

\arctan\frac{y}{x}-\ln\sqrt{x^2+y^2}=0

שלב שני, נגדיר פונקציה חדשה. המשתנים שלה יהיו כל המשתנים המופיעים במשוואה. מקבלים את הפונקציה:

z(x,y)=\arctan\frac{y}{x}-\ln\sqrt{x^2+y^2}

כעת, נחשב את הנגזרת לפי נוסחת נגזרת לפונקציה סתומה:

y'(x)=\frac{-z'_x}{z'_y}

נחשב את הנגזרות החלקיות של z:

z'_x=\frac{1}{{(\frac{y}{x})}^2+1}\cdot (-\frac{y}{x^2})-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2x=

=\frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot (-\frac{y}{x^2})-\frac{x}{x^2+y^2}=

=\frac{-y-x}{x^2+y^2}

z'_y=\frac{1}{{(\frac{y}{x})}^2+1}\cdot \frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2y=

=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}=

=\frac{x-y}{x^2+y^2}

נציב בנוסחת הנגזרת לפונקציה סתומה:

y'(x)=\frac{-z'_x}{z'_y}=\frac{-\frac{-y-x}{x^2+y^2}}{\frac{x-y}{x^2+y^2}}=

=\frac{x+y}{x-y}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה