fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גרדיאנט – משוואת מישור משיק – תרגיל 4367

תרגיל 

חשבו את משוואת המישור המשיק לפונקציה:

2^{\frac{x}{z}}+2^{\frac{y}{z}}=8

בנקודה (2,2,1).

תשובה סופית


x+y-4z=0

פתרון

כדי למצוא משוואת מישור משיק, אנו צריכים נקודה ונורמל (וקטור מאונך למישור). נקודה נתונה, לכן נותר למצוא נורמל.

וקטור הגרדיאנט בנקודה היא וקטור המאונך למישור, ולכן הוא יהיה הנורמל שאנו מחפשים. לשם כך, נעביר את כל האיברים בפונקציה אגף:

2^{\frac{x}{z}}+2^{\frac{y}{z}}-8=0

נגדיר פונקציה חדשה:

h(x,y,z)=2^{\frac{x}{z}}+2^{\frac{y}{z}}-8

נחשב לפונקציה את וקטור הגרדיאנט:

\nabla h=h'_x\vec{i}+h'_y\vec{j}+h'_z\vec{k}=

=(h'_x,h'_y,h'_z)

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

h'_x(x,y,z)=2^{\frac{x}{z}}\cdot \ln 2\cdot\frac{1}{z}

h'_y(x,y,z)=2^{\frac{y}{z}}\cdot \ln 2\cdot\frac{1}{z}

h'_z(x,y,z)=2^{\frac{x}{z}}\cdot \ln 2\cdot\frac{-x}{z^2}+2^{\frac{y}{z}}\cdot \ln 2\cdot\frac{-y}{z^2}

נציב בווקטור הגרדיאנט ונקבל:

\nabla h(x,y,z)=(2^{\frac{x}{z}}\cdot \ln 2\cdot\frac{1}{z},2^{\frac{y}{z}}\cdot \ln 2\cdot\frac{1}{z},2^{\frac{x}{z}}\cdot \ln 2\cdot\frac{-x}{z^2}+2^{\frac{y}{z}}\cdot \ln 2\cdot\frac{-y}{z^2})

נציב את הנקודה ונקבל:

\nabla h(2,2,1)=(2^{\frac{2}{1}}\cdot \ln 2\cdot\frac{1}{1},2^{\frac{2}{1}}\cdot \ln 2\cdot\frac{1}{1},2^{\frac{2}{1}}\cdot \ln 2\cdot\frac{-2}{1z^2}+2^{\frac{2}{1}}\cdot \ln 2\cdot\frac{-2}{1^2})=

=(4\ln 2,4\ln 2,-16\ln 2)

כלומר הנורמל למישור הוא

\vec{N}=(4\ln 2,4\ln 2,-16\ln 2)

נציב את הנקודה ואת הנורמל בנוסחה למשוואת מישור ונקבל:

4\ln 2(x-2)+4\ln 2(y-2)-16\ln 2(z-1)=0

נחלק את המשוואה בביטוי:

4\ln 2

ונקבל:

x-2+y-2-4(z-1)=0

x-2+y-2-4z+4=0

x+y-4z=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה