fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גרדיאנט – משוואת מישור משיק המקביל למישור נתון – תרגיל 4369

תרגיל 

חשבו את משוואת המישור המשיק למשטח:

x^2+2y^2+3z^2=21

המקביל למישור:

x+4y+6z=0

תשובה סופית


x+4y+6z=21

x+4y+6z=-21

פתרון

כדי למצוא משוואת מישור משיק, אנו צריכים נקודה ונורמל (וקטור מאונך למישור).

כאשר שני מישורים מקבילים, הנורמלים שלהם מקבילים גם כן. לכן, הנורמל של המישור המקביל:

\vec{N}=(1,4,6)

הוא גם נורמל למישור המשיק.

נותר למצוא את נקודת ההשקה. וקטור הגרדיאנט בנקודת ההשקה גם מאונך למישור המשיק, ולכן מקביל לנורמל שמצאנו.

נחשב את וקטור הגרדיאנט. לשם כך, נעביר את כל האיברים בפונקציה אגף:

x^2+2y^2+3z^2-21=0

נגדיר פונקציה חדשה:

h(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21

נחשב לפונקציה את וקטור הגרדיאנט:

\nabla h=h'_x\vec{i}+h'_y\vec{j}+h'_z\vec{k}=

=(h'_x,h'_y,h'_z)

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

h'_x(x,y,z)=2x

h'_y(x,y,z)=4y

h'_z(x,y,z)=6z

נציב בווקטור הגרדיאנט ונקבל:

\nabla h(x,y,z)=(2x,4y,6z)

נמצא את נקודת ההשקה. נסמן אותה כך:

(x_0,y_0,z_0)

מכיוון ששני הווקטורים (הגרדיאנט והנורמל) מקבילים, כלומר

\nabla h(x_0,y_0,z_0)||\vec{N}

(2x_0,4y_0,6z_0)||(1,4,6)

אז מתקיים:

\frac{2x_0}{1}=\frac{4y_0}{4}=\frac{6z_0}{6}

מהמשוואה מקבלים:

2x_0=y_0=z_0

נקודת ההשקה מקיימת גם את משוואת המשטח. נציב אותה במשטח ונקבל:

{x_0}^2+2{y_0}^2+3{z_0}^2=21

{x_0}^2+2{(2x_0)}^2+3{(2x_0)}^2=21

{x_0}^2+8{x_0}^2+12{x_0}^2=21

21{x_0}^2=21

{x_0}^2=1

x_0=\pm 1

קיבלנו שיש שתי נקודות השקה אפשריות:

(1,2,2),(-1,-2,-2)

לכן, מקבלים שתי אפשרויות למשוואת מישור משיק.

אפשרות ראשונה, נציב את הנקודה (1,2,2) ואת הנורמל בנוסחה למשוואת מישור ונקבל:

(x-1)+4(y-2)+6(z-2)=0

x-1+4y-8+6z-12=0

x+4y+6z=21

אפשרות שנייה, נציב את הנקודה (2-,2-,1-) ואת הנורמל בנוסחה למשוואת מישור ונקבל:

(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0

x+1+4y+8+6z+12=0

x+4y+6z=-21

הסיבה שקיבלנו 2 מישורים משיקים המקיימים את התנאי (מקבילים למישור הנתון) היא משום שהמשטח הוא אליפסואיד ושני המישורים משני צידיו. כך זה נראה:

אליפסואיד ושני מישורים

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה