fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גרדיאנט – משוואת נורמל למשטח עם arctan – תרגיל 4376

תרגיל 

חשבו את משוואת הנורמל למשטח:

z=\arctan\frac{y}{x}

בנקודה x=1,y=1.

תשובה סופית


\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-\frac{\pi}{4}}{2}

פתרון

הנורמל הוא וקטור מאונך למשטח, ומשוואה של וקטור זה משוואת ישר. כדי למצוא משוואת ישר, אנו צריכים נקודה ווקטור כיוון.

נמצא את הנקודה – נציב את x=1 ואת y=1 במשטח כדי למצוא את רכיב z של הנקודה:

z=\arctan\frac{1}{1}

z=\arctan 1=\frac{\pi}{4}

קיבלנו שנקודת ההשקה היא

(1,1,\frac{\pi}{4})

וקטור הכיוון של הישר הוא וקטור הגרדיאנט בנקודה. לכן, נחשב את וקטור הגרדיאנט. לשם כך, נעביר את כל האיברים בפונקציה לאגף אחד:

z-\arctan\frac{y}{x}=0

נגדיר פונקציה חדשה:

h(x,y,z)=z-\arctan\frac{y}{x}

נחשב לפונקציה את וקטור הגרדיאנט:

\nabla h=h'_x\vec{i}+h'_y\vec{j}+h'_z\vec{k}=

=(h'_x,h'_y,h'_z)

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

h'_x(x,y,z)=-\frac{1}{{(\frac{y}{x})}^2+1}\cdot (-\frac{y}{x^2})

h'_y(x,y,z)=-\frac{1}{{(\frac{y}{x})}^2+1}\cdot \frac{1}{x}

h'_z(x,y,z)=1

נציב בווקטור הגרדיאנט ונקבל:

\nabla h(x,y,z)=(-\frac{1}{{(\frac{y}{x})}^2+1}\cdot (-\frac{y}{x^2}),-\frac{1}{{(\frac{y}{x})}^2+1}\cdot \frac{1}{x},1)

נציב את הנקודה ונקבל:

\nabla h(1,1,\frac{\pi}{4})=(-\frac{1}{{(\frac{1}{1})}^2+1}\cdot (-\frac{1}{1^2}),-\frac{1}{{(\frac{1}{1})}^2+1}\cdot \frac{1}{1},1)=

=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)

כלומר וקטור הכיוון הוא

\vec{p}=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)

נציב את הנקודה ואת וקטור הכיוון במשוואה קנונית של ישר ונקבל:

\frac{x-1}{\frac{1}{2}}=\frac{y-1}{-\frac{1}{2}}=\frac{z-\frac{\pi}{4}}{1}

נכפול בחצי ונקבל:

\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-\frac{\pi}{4}}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה