fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – פונקציה רציונלית עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6612

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2(x^2-1)} dx

תשובה סופית


\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2(x^2-1)} dx=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln 3

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו שני גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2(x^2-1)} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{2}^{t} \frac{1}{x^2(x^2-1)} dx=

יש לנו פונקציה רציונלית (=מנה של פולינומים). לכן, נשתמש בשיטת פירוק לשברים חלקיים ונקבל את הפירוק:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{2}^{t} -\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2-1} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{2}^{t} -x^{-2}+\frac{1}{(x-1)(x+1)} dx=

האיבר הראשון באינטגרל הוא אינטגרל מיידי. באיבר השני נשתמש שוב בשיטת פירוק לשברים חלקיים ונקבל את הפירוק:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{2}^{t} -x^{-2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1} dx=

הגענו לאינטגרלים מיידיים. נפתור אותם בעזרת נוסחאות אינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} -[\frac{x^{-1}}{-1}]_{2}^{t}+\frac{1}{2}[\ln|x-1|]_{2}^{t}-\frac{1}{2}[\ln|x+1|]_{2}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} (\frac{1}{t}-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}(\ln|t-1|-\ln|2-1|)-\frac{1}{2}(\ln|t+1|-\ln|2+1|)=

=\lim_{t \rightarrow \infty} (\frac{1}{t}-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}(\ln|t-1|-0)-\frac{1}{2}(\ln|t+1|-\ln 3)=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln|\frac{t-1}{t+1}|+\frac{1}{2}\ln 3=

נציב בגבול:

t=\infty

ונקבל:

=\frac{1}{\infty}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln|\frac{\infty-1}{\infty+1}|+\frac{1}{2}\ln 3=

=0-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln|\frac{\infty-1}{\infty+1}|+\frac{1}{2}\ln 3=

קיבלנו ביטוי עם ““שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”, לכן נחשב את הגבול על ביטוי זה בנפרד:

=\lim_{t \rightarrow \infty}\frac{1}{2}\ln|\frac{t-1}{t+1}|=

=\frac{1}{2}\ln\lim_{t \rightarrow \infty}|\frac{t-1}{t+1}|=

הערה: יכולנו להכניס את האינטגרל, כי פונקציית ln היא פונקציה רציפה.

נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\frac{1}{2}\ln\lim_{t \rightarrow \infty}\frac{1}{1}=

=\frac{1}{2}\ln\lim_{t \rightarrow \infty}1=

=\frac{1}{2}\ln1=0

מכאן, סה”כ מקבלים:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln|\frac{t-1}{t+1}|-\frac{1}{2}-\ln 3=

=0-\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}\ln 3=

=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln 3

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה