fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא אמיתי – מנה של פונקציות מעריכיות עם גבול אינטגרציה אינסופי – תרגיל 6999

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-3x}+e^{-6x}}{e^{-2x}+e{-x}} dx

תשובה סופית


\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-3x}+e^{-6x}}{e^{-2x}+e{-x}} dx=\frac{5}{12}

פתרון

האינטגרל לא אמיתי, כי יש לו גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נעביר את הגבול האינסופי לחישוב גבול:

\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-3x}+e^{-6x}}{e^{-2x}+e{-x}} dx=

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{e^{-3x}+e^{-6x}}{e^{-2x}+e{-x}} dx=

נסדר את הפונקציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{{(e^{-x})}^3+{(e^{-2x})}^3}{e^{-2x}+e{-x}} dx=

נשתמש בנוסחת כפל מקוצר ממעלה שלישית (נוסחה רביעית) ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{(e^{-x}+e^{-2x})(e^{-2x}-e^{-3x}+e^{-4x})}{e^{-2x}+e{-x}} dx=

נצמצם ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} e^{-2x}-e^{-3x}+e^{-4x} dx=

הגענו לאינטגרל מיידי. נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [\frac{e^{-2x}}{-2}-\frac{e^{-3x}}{-3}+\frac{e^{-4x}}{-4}]_{0}^{t}=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{2}e^{-2x}+\frac{1}{3}e^{-3x}-\frac{1}{4}e^{-4x}]_{0}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{2}e^{-2t}+\frac{1}{3}e^{-3t}-\frac{1}{4}e^{-4t}-(-\frac{1}{2}e^{-2\cdot 0}+\frac{1}{3}e^{-3\cdot 0}-\frac{1}{4}e^{-4\cdot 0})]=

=\lim_{t \rightarrow \infty} [-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{e^{2t}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{e^{3t}}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{e^{4t}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}]=

נציב:

t=\infty

ונקבל:

=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{e^{2\cdot\infty}}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{e^{3\cdot\infty}}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{e^{4\cdot\infty}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=

=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\infty}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\infty}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\infty}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=

=-\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot 0+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=

=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=

=\frac{5}{12}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה