fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב נגזרת – פונקציה בחזקת פונקציה – תרגיל 1023

תרגיל 

חשבו את הנגזרת של הפונקציה:

f(x)=x^{x^2+1}

תשובה סופית


f'(x)=x^{x^2}(2x^2\ln x + x^2+1)

פתרון

אין לנו נוסחת גזירה לפונקציה בחזקת פונקציה. כדי לעקוף את זה, נשתמש ב”טריק” – נפעיל פונקציית ln בשני האגפים. ואז, בעזרת חוקי לוגריתמים, נוכל להוריד את החזקה. כך, במקום לגזור פונקציה בחזקת פונקציה נגזור מכפלה של פונקציות.

f(x)=x^{x^2+1}

\ln f(x)=\ln x^{x^2+1}

\ln f(x)=(x^2+1)\ln x

כעת, נגזור את שני האגפים לפי המשתנה x. באגף ימין נשתמש בכלל המכפלה בכללי הגזירה:

\frac{1}{f(x)}f'(x)=2x\cdot \ln x + (x^2+1)\frac{1}{x}

נבודד את הנגזרת באגף שמאל:

f'(x)=f(x)(2x\cdot \ln x + (x^2+1)\frac{1}{x})

נציב את הפונקציה:

f'(x)=x^{x^2+1}(2x\ln x + (x^2+1)\frac{1}{x})

נשאר רק לסדר את הביטוי:

f'(x)=x^{x^2}\cdot x(2x\ln x + (x^2+1)\frac{1}{x})

f'(x)=x^{x^2}\cdot x(2x\ln x + x+\frac{1}{x})

f'(x)=x^{x^2}(2x^2\ln x + x^2+1)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה