fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב נגזרת – נגזרת ממעלה n – תרגיל 1084

תרגיל 

חשבו נגזרת ממעלה n לפונקציה:

f(x)=\ln x

תשובה סופית


f^{(n)}(x)={(-1)}^{n-1}(n-1)! x^{-n}

פתרון

נחשב את הנגזרות הראשונות וננסה למצוא תבנית לנגזרת ממעלה n (=נגזרת n-ית).

נחשב את הנגזרת הראשונה בעזרת נוסחאות גזירה:

f'(x)=\frac{1}{x}

נחשב את הנגזרת השנייה. לשם כך, נגזרת את הנגזרת הראשונה ונקבל:

f''(x)=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2}

נחשב את הנגזרת השלישית. לשם כך, נגזור את הנגזרת השנייה ונקבל:

f'''(x)=2x^{-3}

נחשב את הנגזרת הרביעית. לשם כך, נגזור את הנגזרת השלישית ונקבל:

f^{(4)}(x)=-6x^{-4}

נתבונן בנגזרות שחישבנו וננסה למצוא תבנית:

f'(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}

f''(x)=-\frac{1}{x^2}=(-1)\cdot x^{-2}

f'''(x)=2x^{-3}=1\cdot 2 x^{-3}

f^{(4)}(x)=(-1)\cdot 1\cdot 2\cdot 3 x^{-4}

נשים לב לתכונות הבאות:

  • הנגזרות הזוגיות מוכפלות במינוס אחד, והאי-זוגיות – לא.
  • המקדם הוא כפל המספר הטבעיים עד למעלת החזקה פחות אחד – זה נקרא עצרת.
  • החזקה של המשתנה היא תמיד עם מינוס ומספר התואם למעלת הנגזרת.

מקבלים שהנגזרת ה-n-ית היא:

f^{(n)}(x)={(-1)}^{n-1}(n-1)! x^{-n}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה