fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה של פולינומים מאותה מעלה – תרגיל 2706

תרגיל 

האם הטור:

\frac{1}{3}+\frac{3}{5}+\frac{5}{7}+...

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון מפורט

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש מספרים אי-זוגיים המתחילים מ-1. הנוסחה לרצף כזה היא 2n-1. כמו כן, במכנה של כל השברים יש מספרים אי-זוגיים המתחילים מ-3. הנוסחה לרצף כזה היא 2n+1. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{2n-1}{2n+1}

נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים:

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n-1}{2n+1}

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{2n-1}{n}}{\frac{2n+1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2-\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{2-0}{2+0}=1\neq 0

מכיוון שהגבול אינו שווה לאפס, מתנאי הכרחי להתכנסות מקבלים שהטור מתבדר.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לכל הפתרונות באתר?