תרגיל
האם הטור:
\frac{1}{3}+\frac{3}{5}+\frac{5}{7}+...
מתכנס?
תשובה סופית
פתרון מפורט
נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש מספרים אי-זוגיים המתחילים מ-1. הנוסחה לרצף כזה היא 2n-1. כמו כן, במכנה של כל השברים יש מספרים אי-זוגיים המתחילים מ-3. הנוסחה לרצף כזה היא 2n+1. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא
a_n=\frac{2n-1}{2n+1}
נבדוק אם התנאי ההכרחי להתכנסות מתקיים:
\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n-1}{2n+1}
נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{2n-1}{n}}{\frac{2n+1}{n}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2-\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}=
נציב אינסוף ונקבל:
=\frac{2-0}{2+0}=1\neq 0
מכיוון שהגבול אינו שווה לאפס, מתנאי הכרחי להתכנסות מקבלים שהטור מתבדר.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
