fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

וקטורים – חישוב זוויות של משולש – תרגיל 3594

תרגיל 

חשבו את זוויות המשולש ABC שקודקודיו הם

A(2,-1,3), B(1,1,1), C(0,0,5)

תשובה סופית

\alpha=\frac{\pi}{2}

\beta=\frac{\pi}{4}

\gamma=\frac{\pi}{4}

פתרון

נמצא את הזווית הצמודה לקודקוד A. נסמן אותה באות אלפא. כדי למצוא את הזווית, נחשב את שני הווקטורים AB ו-AC:

\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2)\vec{i}+(1-(-1))\vec{j}+(1-3)\vec{k}=

=-1\vec{i}+2\vec{j}-2\vec{k}

\overrightarrow{AC}=C-A=(0-2)\vec{i}+(0-(-1))\vec{j}+(5-3)\vec{k}=

=-2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}

נחשב את גודל הווקטורים:

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{(-1)}^2+2^2+{(-2)}^2}=\sqrt{9}=3

|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{{(-2)}^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3

נחשב את המכפלה הסקלרית שלהם:

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-1)\cdot (-2)+2\cdot 1+(-2)\cdot 2=0

נציב הכול בנוסחה לחישוב זווית ונקבל:

\cos \alpha=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}

=\frac{0}{3\cdot 3}=0

מכאן,

\alpha=\frac{\pi}{2}=90^{\circ}

נמצא את הזווית הצמודה לקודקוד B. נסמן אותה באות ביתא. כדי למצוא את הזווית, נחשב את שני הווקטורים BA ו-BC:

\overrightarrow{BA}=A-B=(2-1)\vec{i}+(-1-1)\vec{j}+(3-1)\vec{k}=

=\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}

\overrightarrow{BC}=C-B=(0-1)\vec{i}+(0-1)\vec{j}+(5-1)\vec{k}=

=-\vec{i}-\vec{j}+4\vec{k}

נחשב את גודל הווקטורים:

|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{1^2+{(-2)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3

|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{{(-1)}^2+{(-1)}^2+4^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

נחשב את המכפלה הסקלרית שלהם:

\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=1\cdot (-1)+(-2)\cdot (-1)+2\cdot 4=9

נציב הכול בנוסחה לחישוב זווית ונקבל:

\cos \beta=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}

=\frac{9}{3\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

מכאן,

\beta=\frac{\pi}{4}=45^{\circ}

נמצא את הזווית הצמודה לקודקוד C. נסמן אותה באות גמא. כדי למצוא את הזווית, נחשב את שני הווקטורים CA ו-CB:

\overrightarrow{CA}=A-C=(2-0)\vec{i}+(-1-0)\vec{j}+(3-5)\vec{k}=

=2\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k}

\overrightarrow{CB}=B-C=(1-0)\vec{i}+(1-0)\vec{j}+(1-5)\vec{k}=

=\vec{i}+\vec{j}-4\vec{k}

נחשב את גודל הווקטורים:

|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{(-2)}^2}=\sqrt{9}=3

|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{1^2+1^2+{(-4)}^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

נחשב את המכפלה הסקלרית שלהם:

\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=2\cdot 1+(-1)\cdot 1+(-2)\cdot (-4)=9

נציב הכול בנוסחה לחישוב זווית ונקבל:

\cos \gamma=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|}

=\frac{9}{3\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

מכאן,

\gamma=\frac{\pi}{4}=45^{\circ}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

תרגיל 1 – וקטורים – חישוב מכפלה סקלרית של וקטורים

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה