fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הצגות שונות לעקומה – מעבר מהצגה פרמטרית להצגה קרטזית – תרגיל 3752

תרגיל 

נתונה הפונקציה הווקטורית בהצגה פרמטרית:

\vec{r}(t)=4\cos t\vec{i}+3\sin t\vec{j}+t\vec{k}

טווח הפרמטר t הוא

-\infty< t<\infty

הציגו את העקומה בהצגה קרטזית ותארו את הגרף שלה.

תשובה סופית

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1

z=t

פתרון

נתונה הפונקציה:

\vec{r}(t)=4\cos t\vec{i}+3\sin t\vec{j}+t\vec{k}

כדי לעבור להצגה קרטזית, נגדיר את המקדם של הווקטור i להיות x, את המקדם של הווקטור j להיות y ואת המקדם של k להיות z:

x(t)=4\cos t

y(t)=3\sin t

z(t)=t

קיבלנו את המשוואות:

x=4\cos t

y=3\sin t

z=t

נעביר אגפים:

\frac{x}{4}=\cos t

\frac{y}{3}=\sin t

z=t

כעת, נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\sin^2 t+\cos^2 t=1

ונקבל משתי המשוואות הראשונות:

{(\frac{x}{4})}^2+{(\frac{y}{3})}^2=\cos^2 t+\sin^2 t=1

כלומר, קיבלנו את המשוואה:

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1

וזוהי משוואת אליפסה – מרכזה בנקודה (0,0), הרדיוס המקביל לציר x הוא 4 והרדיוס המקביל לציר y הוא 3.

מכיוון שנתון הטווח:

-\infty<t<\infty

ומתקיים:

z=t

מקבלים שהאליפסה אינה נסגרת אף פעם אלא היא כמו סליל הנמשך לאורך כל ציר z, ממינוס אינסוף עד פלוס אינסוף.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה