fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

הצגות שונות לעקומה – מעבר מהצגה קרטזית להצגה וקטורית – תרגיל 3790

תרגיל 

נתונה העקומה:

x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=4

הציגו את העקומה בהצגה וקטורית.

תשובה סופית

\vec{r}(t)=8\cos^3 t\vec{i}+8\sin^3 t\vec{j}

פתרון

נתונה העקומה:

x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=4

נעביר את ה-4 אגף, כדי להגיע למשוואת אסטרואידה:

\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}+\frac{y^{\frac{2}{3}}}{4}=1

נסדר:

{(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^2+{(\frac{\sqrt[3]{y}}{2})}^2=1

אנו רואים שקיבלנו סכום איברים ריבועיים שווה ל-1. זה מזכיר מאוד את הזהות הטריגונומטרית:

\sin^2 t+\cos^2 t=1

לכן, נגדיר:

\frac{\sqrt[3]{x}}{2}=\cos t

\frac{\sqrt[3]{y}}{2}=\sin t

עכשיו, נבודד את x:

\frac{\sqrt[3]{x}}{2}=\cos t

\sqrt[3]{x}=2\cos t

x=8\cos^3 t

ונבודד את y:

\frac{\sqrt[3]{y}}{2}=\sin t

\sqrt[3]{y}=2\sin t

y=8\sin^3 t

כדי לקבל את ההצגה הווקטורית, נציב את x במקדם של הווקטור i ואת y במקדם של j:

\vec{r}(t)=8\cos^3 t\vec{i}+8\sin^3 t\vec{j}

מכיוון שלא הגבילו את הטווח של x, ניקח את הטווח המקסימלי של t. מכיוון שהפרמטר t מציין זווית, נקבל:

0\leq t<2\pi

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה