fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

וקטורים – חישוב אורך אלכסונים של מקבילית – תרגיל 4469

תרגיל 

חשבו את אורכי האלכסוני במקבילית הבנויה על הווקטורים:

\vec{a}=5\vec{p}+2\vec{q}

\vec{b}=\vec{p}-3\vec{q}

כאשר נתון:

|\vec{p}|=2\sqrt{2}, |\vec{q}|=3

והזווית ביניהם שווה 45 מעלות.

תשובה סופית

|\vec{a}+\vec{b}|=15

|\vec{b}-\vec{a}|=\sqrt{593}

פתרון

מכיוון שהמקבילית בנויה מהווקטורים p ו-q, אז האלכסון הראשי של המקבילית הוא

\vec{a}+\vec{b}=5\vec{p}+2\vec{q}+\vec{p}-3\vec{q}=

=6\vec{p}-\vec{q}

ואורכו הוא

|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{{(\vec{a}+\vec{b})}^2}=

=\sqrt{{(6\vec{p}-\vec{q})}^2}=

נפתח סוגריים:

=\sqrt{36\vec{p}^2-12\vec{p}\vec{q}+\vec{q}^2}

נציב את נוסחת המכפלה הסקלרית בכל המכפלות:

=\sqrt{36|\vec{p}||\vec{p}|\cos 0-12|\vec{p}||\vec{q}|\cos\frac{\pi}{4}+|\vec{q}||\vec{q}|\cos 0}=

=\sqrt{36\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1-12\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+3\cdot 3\cdot 1}=

=\sqrt{36\cdot 8-12\cdot 6+9}=

=\sqrt{225}=15

נחשב את האלכסון המשני של המקבילית:

\vec{b}-\vec{a}=\vec{p}-3\vec{q}-(5\vec{p}+2\vec{q})=

=-4\vec{p}-5\vec{q}

ואורכו הוא

|\vec{b}-\vec{a}|=\sqrt{{(\vec{b}-\vec{a})}^2}=

=\sqrt{{(-4\vec{p}-5\vec{q})}^2}=

נפתח סוגריים:

=\sqrt{16\vec{p}^2+2\cdot 4\cdot 5\vec{p}\vec{q}+25\vec{q}^2}

נציב את תוצאות המכפלות שחישבנו לעיל:

=\sqrt{16\cdot 8+40\cdot 6+25\cdot 9}

=\sqrt{593}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה