fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

וקטורים – חישוב זוויות של משולש – תרגיל 4471

תרגיל 

חשבו את זווית המשולש ABC כאשר נתון:

\vec{AB}=-2\vec{i}+\vec{j}

\vec{BC}=\vec{i}+2\vec{j}

ואת הווקטור CA.

תשובה סופית

45^{\circ},45^{\circ},90^{\circ}

\vec{CA}=\vec{i}-3\vec{j}

פתרון

וקטור AC הוא סכום הווקטורים AB ו-BC:

\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=

=-2\vec{i}+\vec{j}+\vec{i}+2\vec{j}=

=-\vec{i}+3\vec{j}

הווקטור CA הוא הווקטור הנגדי של הווקטור AC, לכן מתקיים:

\vec{CA}=-\vec{AC}=\vec{i}-3\vec{j}

כעת, נמצא את זוויות המשולש. נמצא את הזווית בין הווקטור AB לווקטור AC. נחשב את המכפלה הסקלרית שלהם:

\vec{AB}\cdot\vec{AC}=(-2\vec{i}+\vec{j})\cdot (-\vec{i}+3\vec{j})=

=-2\cdot (-1)+1\cdot 3=5

מצד שני, נשתמש בנוסחת מכפלה סקלרית:

\vec{AB}\cdot\vec{AC}=|\vec{AB}|\cdot|\vec{AC}|\cdot\cos\alpha

נציב את הנתונים:

5=\sqrt{2^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+3^2}\cdot\cos\alpha

5=\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos\alpha

5=\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}\sqrt{5}\cdot\cos\alpha

1=\sqrt{2}\cdot\cos\alpha

\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos\alpha

\cos\alpha=\frac{\pi}{4}=45^{\circ}

קיבלנו שהזווית בין הווקטורים AB ו-AC היא 45 מעלות.

נשים לב שאורך הווקטור BC הוא:

|\vec{BC}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}

כלומר מתקיים:

|\vec{BC}|=|\vec{AB}|

מכאן, המשולש הוא שווה שוקיים, ולכן גם הזווית השנייה (בין הווקטור BC והווקטור CA) היא 45 מעלות. ומכיוון שבמשולש סך כל הזוויות הוא 180 מעלות, הזווית השלישית היא 90 מעלות.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה