fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

וקטורים – חישוב אורך תיכון ואורך גובה במשולש – תרגיל 4476

תרגיל 

חשבו את אורך התיכון AM ואת הגובה AD במשולש ABC בעל הצלעות: 

\vec{AB}=5\vec{i}+2\vec{j}

\vec{BC}=2\vec{i}-4\vec{j}

תשובה סופית

|\vec{AM}|=6

|\vec{AD}|=\sqrt{28.8}

פתרון

נמצא את הווקטור AM. מסכום וקטורים נובע שמתקיים:

\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}=

משום שהווקטור AM הוא תיכון לצלע BC, הנקודה M בדיוק באמצע הצלע BC.לכן, מתקיים:

=\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BC}=

=5\vec{i}+2\vec{j}+\frac{1}{2}(2\vec{i}-4\vec{j})=

=5\vec{i}+2\vec{j}+(\vec{i}-2\vec{j})=

=6\vec{i}+0\vec{j}=6\vec{i}

נחשב את אורך הווקטור:

|\vec{AM}|=\sqrt{6^2+0^2}=6

נמצא את הווקטור AD. לשם כך, נחשב את ההיטל של הווקטור BA על הווקטור BC. התוצאה תהיה אורך הקטע BD, כלומר

|\vec{BD}|=Pr_{\vec{BC}} \vec{BA}=

= |\vec{BA}|\cos\alpha=

נחלץ את הזווית מנוסחת מכפלה סקלרית:

\cos\alpha=\frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BA}||\vec{BC}|}

נציב בהיטל לעיל:

=|\vec{BA}|\cdot\frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BA}||\vec{BC}|}=

=\frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BC}|}=

הווקטור BA הוא הווקטור הנגדי של AB:

\vec{BA}=-5\vec{i}-2\vec{j}

נציב את הווקטורים:

=\frac{(-5,-2)\cdot(2,-4)}{|(2,-4)|}=

נשתמש בנוסחאות לאורך וקטור ומכפלה סקלרית בקואורדינטות קרטזיות:

=\frac{-5\cdot 2-2\cdot (-4)}{\sqrt{2^2+4^2}}=

=\frac{-10+8}{\sqrt{4+16}}=

=\frac{-2}{\sqrt{20}}

לסיכום, קיבלנו:

|\vec{BD}|=-\frac{1}{\sqrt{5}}

לבסוף, לפי משפט פיתגורס

|\vec{AD}|^2+|\vec{BD}|^2=|\vec{AB}|^2

נבודד את האורך שאנו צריכים למצוא:

|\vec{AD}|=\sqrt{|\vec{AB}|^2-|\vec{BD}|^2}

נחשב את אורך הווקטור AB:

|\vec{AB}|=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}

נציב את אורכי הווקטורים בנוסחה לעיל:

|\vec{AD}|=\sqrt{29-\frac{1}{5}}=\sqrt{28.8}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה