fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

וקטורים – חישוב קודקוד במקבילית וזווית בין אלכסונים – תרגיל 4480

תרגיל 

נתונות הנקודות:

A(-3,-2,0),B(3,-3,1),C(5,0,2)

חשבו את הנקודה D ואת הזווית בין האלכסונים AC ו-BD במקבילית ABCD.

תשובה סופית

D(-1,1,1)

\alpha=60^{\circ},\beta=120^{\circ}

פתרון

במקבילית ABCD הצלעות AB ו-DC מקבילות. כלומר, מתקיים:

\vec{DC}||\vec{AB}

ניצור את הווקטורים מהנקודות. את הנקודה D נסמן ב-(x,y,z).

\vec{DC}=(5,0,2)-(x,y,z)=(5-x,-y,2-z)

\vec{AB}=(3,-3,1)-(-3,-2,0)=(6,-1,1)

מכיוון שהווקטורים מקבילים, מתקיים:

\frac{5-x}{6}=\frac{-y}{-1}=\frac{2-z}{1}

בדומה, גם הצלעות AD ו-BC מקבילות. כלומר, מתקיים:

\vec{AD}||\vec{BC}

גם כאן ניצור את הווקטורים מהנקודות:

\vec{AD}=(x,y,z)-(-3,-2,0)=(x+3,y+2,z)

\vec{BC}=(5,0,2)-(3,-3,1)=(2,3,1)

שוב, מכיוון שהווקטורים מקבילים, מתקיים:

\frac{x+3}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{1}

מהשוויון הראשון מקבלים:

\frac{5-x}{6}=\frac{2-z}{1}

ומהשוויון השני מקבלים:

\frac{x+3}{2}=\frac{z}{1}=z

נבודד את z במשוואה הראשונה ונציב במשוואה השנייה:

2-\frac{x+3}{2}=\frac{5-x}{6}

נפתור את המשוואה:

5-x=12-3x-9

2x=-2

x=-1

נציב באחת המשוואות כדי למצוא את z:

z=\frac{-1+3}{2}=1

נציב באחת המשוואות של y לעיל כדי למצוא אותו:

\frac{y+2}{3}=z=1

y+2=3

y=1

קיבלנו את ערך הנקודה D:

D(-1,1,1)

נמצא את הזווית בין האלכסונים. נחשב את האלכסונים:

\vec{AC}=(5,0,2)-(-3,-2,0)=(8,2,2)

\vec{DB}=(3,-3,1)-(-1,1,1)=(4,-4,0)

נשתמש בעובדה שנקודת המפגש O של האלכסונים חוצה אותם לשני קטעים שווים.

\vec{OC}=\frac{1}{2}\vec{AC}=(4,1,1)

\vec{OB}=\frac{1}{2}\vec{DB}=(2,-2,0)

נמצא את הזווית בין הווקטורים בעזרת הנוסחה של מכפלה סקלרית:

\cos\alpha=\frac{\vec{OB}\cdot\vec{OC}}{|\vec{OB}|\cdot|\vec{OC}|}

=\frac{(2,-2,0)\cdot (4,1,1)}{|(2,-2,0)|\cdot|(4,1,1)|}=

=\frac{2\cdot 4-2\cdot 1+0\cdot 1}{\sqrt{2^2+2^2+0^2}\cdot\sqrt{4^2+1^2+1^2}}=

=\frac{8-2+0}{\sqrt{8}\sqrt{18}}=

=\frac{6}{2\sqrt{2}\cdot 3\\sqrt{2}}=\frac{1}{2}

קיבלנו:

\cos\alpha=\frac{1}{2}

מכאן, הזווית החדה בין האלכסונים היא

\alpha=60^{\circ}

והזווית הקהה בין האלכסונים היא הזווית המשלימה ל-180 מעלות, כלומר

\beta=120^{\circ}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה