fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

וקטורים – חישוב נקודת מפגש התיכונים (מרכז הכובד של משולש) – תרגיל 4484

תרגיל 

נתון שהנקודות:

A(5,0,1),B(1,-5,2),C(3,-1,0)

יוצרות את המשולש ABC. מצאו את נקודת מפגש התיכונים (מרכז הכובד של המשולש).

תשובה סופית

(3,-2,1)

פתרון

נסמן את הנקודות האלה:

O = נקודת מפגש התיכונים. נסמן את רכיביו (x,y,z).

‘A = נקודת החיתוך של התיכון מהקודקוד A לצלע BC.

‘B = נקודת החיתוך של התיכון מהקודקוד B לצלע AC.

‘A נמצאת באמצע הצלע BC. לכן, נשתמש בנוסחת הממוצע, כדי למצוא את רכיבי הנקודה:

A'=(\frac{3+1}{2},\frac{-1-5}{2},\frac{0+2}{2})

ונקבל:

A'=(2,-3,1)

כמו כן, הווקטורים AO ו-‘OA נמצאים על התיכון ‘AA. לכן הם מקבילים. נחשב את הווקטורים:

\vec{AO}=(x,y,z)-(5,0,1)=(x-5,y,z-1)

\vec{OA'}=(2,-3,1)-(x,y,z)=(2-x,-3-y,1-z)

מכיוון שהווקטורים מקבילים, מתקיים:

\frac{x-5}{2-x}=\frac{y}{-3-y}=\frac{z-1}{1-z}

היחס בין הקטעים הוא 2 ל-1, כי תיכונים נפגשים בשני שליש הדרך מהקודקוד לצלע. נוסיף את היחס הזה:

\frac{x-5}{2-x}=\frac{y}{-3-y}=\frac{z-1}{1-z}=\frac{2}{1}=2

נמצא את x:

\frac{x-5}{2-x}=2

x-5=2(2-x)

x-5=4-2x

3x=9

x=3

נמצא את y:

\frac{y}{-3-y}=2

y=2(-3-y)

y=-6-2y

3y=-6

y=-2

נמצא את z:

\frac{z-1}{1-z}=2

z-1=2(1-z)

z-1=2-2z

3z=3

z=1

קיבלנו שנקודת מפגש התיכונים היא

O(3,-2,1)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה