fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

וקטורים – חישוב קוסינוס הכיוון של וקטור עם ציר x – תרגיל 4512

תרגיל 

וקטור a יוצר זווית

\beta=60^{\circ}

עם ציר y, זווית

\gamma=120^{\circ}

עם ציר z וזווית אלפא עם ציר x. חשבו את

\cos\alpha

תשובה סופית


\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}

פתרון

נזכור שבהינתן וקטור כלשהו:

\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}

הווקטור המנורמל שלו הוא

\hat{a}=\frac{a_1}{|\vec{a}|}\vec{i}+\frac{a_2}{|\vec{a}|}\vec{j}+\frac{a_3}{|\vec{a}|}\vec{k}

ומתקיים:

\cos\alpha=\frac{a_1}{|\vec{a}|}

\cos\beta=\frac{a_2}{|\vec{a}|}

\cos\gamma=\frac{a_3}{|\vec{a}|}

כאשר אלפא היא הזווית מול ציר x, ביתא – הזווית מול ציר y וגמא – הזווית מול ציר z.

נחבר את ריבועי קוסינוסי הזוויות ונקבל:

\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=

=\frac{{a_1}^2}{|\vec{a}|^2}+\frac{{a_2}^2}{|\vec{a}|^2}+\frac{{a_3}^2}{|\vec{a}|^2}=

=\frac{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}{|\vec{a}|^2}=

=\frac{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}{{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}}^2}=

=\frac{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}=1

לסיכום, קיבלנו שמתקיים:

\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1

נציב את הזוויות הנתונות בשאלה:

\cos^2\alpha+\cos^2 60^{\circ}+\cos^2 120^{\circ}=1

\cos^2\alpha=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}

\cos^2\alpha=\frac{1}{2}

\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה