fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6465

תרגיל 

נתון שפונקציה:

z(x,y)=\ln\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}

גזירה. הוכיחו שמתקיים:

z''_{xx}+z''_{yy}=0

הוכחה

נחשב את הנגזרת החלקיות של z:

z'_x=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}\cdot\frac{-1}{{(\sqrt{x^2+y^2})}^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2x)=

=\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{-x}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=

=\frac{-x}{x^2+y^2}

z'_y=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}\cdot\frac{-1}{{(\sqrt{x^2+y^2})}^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2y)=

=\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{-y}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=

=\frac{-y}{x^2+y^2}

נחשב את הנגזרות השניות שמופיעות במשוואה שצריך להוכיח:

z''_{xx}=\frac{-(x^2+y^2)+x\cdot 2x}{{(x^2+y^2)}^2}=

=\frac{x^2-y^2}{{(x^2+y^2)}^2}

z''_{yy}=\frac{-(x^2+y^2)+y\cdot 2y}{{(x^2+y^2)}^2}=

=\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}

נציב את הנגזרות במשוואה שצריך להוכיח:

z''_{xx}+z''_{yy}=

=\frac{x^2-y^2}{{(x^2+y^2)}^2}+\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}=

=\frac{x^2-y^2+y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}=

=\frac{0}{{(x^2+y^2)}^2}=

=0

כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה