fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6467

תרגיל 

נתון שפונקציה:

z(x,y)=\ln(e^x+e^y)

גזירה. הוכיחו שמתקיים:

z''_{xx}\cdot z''_{yy}={(z''_{xy})}^2

הוכחה

נחשב את הנגזרת החלקיות של z:

z'_x=\frac{1}{e^x+e^y}\cdot e^x=

=\frac{e^x}{e^x+e^y}

z'_y=\frac{1}{e^x+e^y}\cdot e^y=

=\frac{e^y}{e^x+e^y}

נחשב את הנגזרות השניות שמופיעות במשוואה שצריך להוכיח:

z''_{xx}=\frac{e^x(e^x+e^y)-e^x\cdot e^x}{{(e^x+e^y)}^2}=

=\frac{e^x\cdot e^y}{{(e^x+e^y)}^2}

z''_{yy}=\frac{e^y(e^x+e^y)-e^y\cdot e^y}{{(e^x+e^y)}^2}=

=\frac{e^y\cdot e^x}{{(e^x+e^y)}^2}

z''_{xy}=\frac{-e^x\cdot e^y}{{(e^x+e^y)}^2}

נציב את הנגזרות במשוואה שצריך להוכיח:

z''_{xx}\cdot z''_{yy}=

=\frac{e^x\cdot e^y}{{(e^x+e^y)}^2}\cdot \frac{e^y\cdot e^x}{{(e^x+e^y)}^2}=

=\frac{e^{2x}\cdot e^{2y}}{{(e^x+e^y)}^4}=

={(\frac{e^{x}\cdot e^{y}}{{(e^x+e^y)}^2})}^2=

={(z''_{xy})}^2

כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה