תרגיל
נתון שפונקציה:
z(x,y)=\ln(e^x+e^y)
גזירה. הוכיחו שמתקיים:
z''_{xx}\cdot z''_{yy}={(z''_{xy})}^2
פתרון מפורט
נחשב את הנגזרת החלקיות של z:
z'_x=\frac{1}{e^x+e^y}\cdot e^x=
=\frac{e^x}{e^x+e^y}
z'_y=\frac{1}{e^x+e^y}\cdot e^y=
=\frac{e^y}{e^x+e^y}
נחשב את הנגזרות השניות שמופיעות במשוואה שצריך להוכיח:
z''_{xx}=\frac{e^x(e^x+e^y)-e^x\cdot e^x}{{(e^x+e^y)}^2}=
=\frac{e^x\cdot e^y}{{(e^x+e^y)}^2}
z''_{yy}=\frac{e^y(e^x+e^y)-e^y\cdot e^y}{{(e^x+e^y)}^2}=
=\frac{e^y\cdot e^x}{{(e^x+e^y)}^2}
z''_{xy}=\frac{-e^x\cdot e^y}{{(e^x+e^y)}^2}
נציב את הנגזרות במשוואה שצריך להוכיח:
z''_{xx}\cdot z''_{yy}=
=\frac{e^x\cdot e^y}{{(e^x+e^y)}^2}\cdot \frac{e^y\cdot e^x}{{(e^x+e^y)}^2}=
=\frac{e^{2x}\cdot e^{2y}}{{(e^x+e^y)}^4}=
={(\frac{e^{x}\cdot e^{y}}{{(e^x+e^y)}^2})}^2=
={(z''_{xy})}^2
כנדרש.
מ.ש.ל.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
