תרגיל
נתונה הפונקציה:
y=\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x+3
מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון של הפונקציה.
תשובה סופית
פתרון מפורט
נתונה הפונקציה:
y=\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x+3
נגזור אותה בעזרת נוסחאות גזירה ונשווה לאפס:
y'=\frac{1}{5}\cdot 5x^4-\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 2x^2+1=
=x^4-2x^2+1=0
קיבלנו את המשוואה:
x^4-2x^2+1=0
נפתור אותה. נגדיר:
t=x^2
ונקבל:
t^2-2t+1=0
זו משוואה ריבועית, ושורשיה הם:
t=1
נחזור למשתנה המקורי:
1=x^2
ונקבל את הפתרונות:
x=-1, x=1
אילו נקודות חשודות לקיצון מקומי. נקודות אילו מחלקות את ציר x לשלושה חלקים:
x<-1
-1<x<1
x>1
כדי למצוא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, ניקח נקודה מכל חלק לעיל ונציב בנגזרת. אם נקבל תוצאה חיובית, הפונקציה עולה בתחום זה, ואם נקבל תוצאה שלילית, הפונקציה יורדת בתחום זה.
נתחיל בחלק הראשון:
x<-1
ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:
x=-2
נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:
y'(-2)={(-2)}^4-2\cdot {(-2)}^2+1=16-8+1=9>0
קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה עולה בתחום זה.
נמשיך לחלק השני:
-1<x<1
ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:
x=0
נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:
y'(0)=0^4-2\cdot 0^2+1=0+1=1>0
קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה עולה בתחום זה.
נעבור לחלק השלישי:
x>1
ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:
x=2
נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:
y'(2)=2^4-2\cdot 2^2+1=16-8+1=9>0
קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה עולה בתחום זה.
כעת, כדי לחשב את סוג נקודות הקיצון נבדוק אם קיבלנו מעבר מעלייה לירידה או להפך. אם כן, זו נקודת קיצון מקומית. אם עוברים מעלייה לירידה, נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום. ואם עוברים מירידה לעלייה, נקודת הקיצון היא מינימום.
קיבלנו שהפונקציה עולה עד הנקודה x=-1 ועולה גם אחר כך, לכן אין נקודת קיצון בנקודה זו.
קיבלנו שהפונקציה עולה לפני הנקודה x=1 ועולה גם אחריו, לכן אין נקודת קיצון גם בנקודה זו.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
