fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – חישוב תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון למנה של פולינומים – תרגיל 6820

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

y=\frac{x}{x^2+1}

מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון של הפונקציה.

תשובה סופית

תחומי עלייה

-1<x<1

תחומי ירידה

x<-1, x>1

נקודות קיצון

x=-1, x=1

פתרון

נתונה הפונקציה:

y=\frac{x}{x^2+1}

נגזור אותה בעזרת נוסחאות גזירה ונשווה לאפס:

y'=\frac{x^2+1-x\cdot 2x}{{(x^2+1)}^2}=0

קיבלנו את המשוואה:

\frac{x^2+1-2x^2}{{(x^2+1)}^2}=0

\frac{1-x^2}{{(x^2+1)}^2}=0

נפתור אותה. המכנה תמיד חיובי, לכן המשוואה תתקיים רק כאשר המונה יהיה שווה לאפס:

1-x^2=0

x^2=1

x=\pm 1

קיבלנו שהפתרונות של המשוואה הם

x=-1, x=1

אילו נקודות חשודות לקיצון מקומי. נקודות אילו מחלקות את ציר x לשלושה חלקים:

x<-1

-1<x<1

x>1

כדי למצוא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, ניקח נקודה מכל חלק לעיל ונציב בנגזרת. אם נקבל תוצאה חיובית, הפונקציה עולה בתחום זה, ואם נקבל תוצאה שלילית, הפונקציה יורדת בתחום זה.

נתחיל בחלק הראשון:

x<-1

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=-2

נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:

y'(-2)=\frac{1-{(-2)}^2}{{({(-2)}^2+1)}^2}=\frac{-3}{25}<0

קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה.

נמשיך לחלק השני:

-1<x<1

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=0

נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:

y'(-2)=\frac{1-0^2}{{(0^2+1)}^2}=\frac{1}{1}>0

קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה עולה בתחום זה.

נעבור לחלק השלישי:

x>1

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=2

נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:

y'(2)=\frac{1-2^2}{{(2^2+1)}^2}=\frac{-3}{25}<0

קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה.

כעת, כדי לחשב את סוג נקודות הקיצון נבדוק אם קיבלנו מעבר מעלייה לירידה או להפך. אם כן, זו נקודת קיצון מקומית. אם עוברים מעלייה לירידה, נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום. ואם עוברים מירידה לעלייה, נקודת הקיצון היא מינימום.

קיבלנו שהפונקציה יורדת עד הנקודה x=-1 ועולה אחר כך, לכן בנקודה x=-1 יש מינימום.

קיבלנו שהפונקציה עולה לפני הנקודה x=1 ויורדת אחריו, לכן בנקודה x=1 יש מקסימום.

דרך נוספת למצוא את סוג נקודות הקיצון היא בעזרת הנגזרת השנייה:

y''=\frac{-2x{(x^2+1)}^2-(-x^2+1)\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{{(x^2+1)}^4}=

=\frac{-2x(x^2+1)-4x(-x^2+1)}{{(x^2+1)}^3}=

=\frac{-2x^3-2x+4x^3-4x}{{(x^2+1)}^3}=

=\frac{2x^3-6x}{{(x^2+1)}^3}

נציב את הפתרונות שקיבלנו בנגזרת השנייה. נציב את הנקודה x=-1 ונקבל:

y''(-1)=\frac{2\cdot {(-1)}^3-6\cdot (-1)}{{({(-1)}^2+1)}^3}=

=\frac{1}{2}>0

קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן יש בנקודה זו מינימום מקומי.

נציב את הנקודה x=1 ונקבל:

y''(1)=\frac{2\cdot 1^3-6\cdot 1}{{(1^2+1)}^3}=

=-\frac{1}{2}<0

קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן יש בנקודה זו מקסימום מקומי.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה