fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

עלייה, ירידה וקיצון – חישוב תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון למנה של פולינומים – תרגיל 6824

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

y=\frac{1-x}{x^2}

מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון של הפונקציה.

תשובה סופית

תחומי עלייה

x<0, x>2

תחומי ירידה

0<x<2

נקודות קיצון

x=0, x=2

פתרון מפורט

נתונה הפונקציה:

y=\frac{1-x}{x^2}

נגזור אותה בעזרת נוסחאות גזירה ונשווה לאפס:

y'=\frac{-1\cdot x^2-(1-x)\cdot 2x}{x^4}=0

קיבלנו את המשוואה:

\frac{-x^2-2x+2x^2}{x^4}=0

נפתור אותה. המכנה תמיד חיובי, לכן המשוואה תתקיים רק כאשר המונה יהיה שווה לאפס:

-x^2-2x+2x^2=0

x^2-2x=0

x(x-2)=0

קיבלנו שהפתרונות של המשוואה הם

x=0, x=2

אילו נקודות חשודות לקיצון מקומי. נקודות אילו מחלקות את ציר x לשלושה חלקים:

x<0

0<x<2

x>2

כדי למצוא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, ניקח נקודה מכל חלק לעיל ונציב בנגזרת. אם נקבל תוצאה חיובית, הפונקציה עולה בתחום זה, ואם נקבל תוצאה שלילית, הפונקציה יורדת בתחום זה.

נתחיל בחלק הראשון:

x<0

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=-1

נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:

y'(-1)=\frac{{(-1)}^2-2\cdot (-1)}{{(-1)}^4}=\frac{3}{1}>0

קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה עולה בתחום זה.

נמשיך לחלק השני:

0<x<2

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=1

נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:

y'(1)=\frac{1^2-2\cdot 1}{1^4}=\frac{-1}{1}<0

קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה.

נעבור לחלק השלישי:

x>2

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=3

נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:

y'(3)=\frac{3^2-2\cdot 3}{3^4}=\frac{3}{3^4}>0

קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה עולה בתחום זה.

כעת, כדי לחשב את סוג נקודות הקיצון נבדוק אם קיבלנו מעבר מעלייה לירידה או להפך. אם כן, זו נקודת קיצון מקומית. אם עוברים מעלייה לירידה, נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום. ואם עוברים מירידה לעלייה, נקודת הקיצון היא מינימום.

קיבלנו שהפונקציה עולה עד הנקודה x=0 ויורדת אחר כך, לכן בנקודה x=0 יש מקסימום.

קיבלנו שהפונקציה יורדת לפני הנקודה x=2 ועולה אחריו, לכן בנקודה x=2 יש מינימום.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לדפי תרגילים פתורים בחדו"א?