fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

וקטורים – הוכחה שארבע נקודות נתונות יוצרות ריבוע – תרגיל 4489

תרגיל 

הוכיחו שהנקודות:

A(2,1),B(4,0),C(5,2),D(3,3)

יוצרות ריבוע ABCD.

הוכחה

ריבוע הוא מרובע בעל 4 צלעות שוות ו-4 זוויות ישרות. ניצור מהנקודות וקטורים ונחשב את אורכם.

\vec{AB}=(4,0)-(2,1)=(2,-1)

\vec{BC}=(5,2)-(4,0)=(1,2)

\vec{CD}=(3,3)-(5,2)=(-2,1)

\vec{DA}=(2,1)-(3,3)=(-1,-2)

נחשב את אורך הווקטורים:

|\vec{AB}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}

|\vec{BC}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}

|\vec{CD}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}

|\vec{DA}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}

כל הווקטורים בעלי אותו אורך כנדרש. נבדוק שהזוויות ישרות:

\vec{AB}\cdot\vec{BC} =|\vec{AB}|\cdot |\vec{BC}|\cdot\cos\alpha

נציב את הנתונים:

(2,-1)\cdot (1,2) =\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos\alpha

2\cdot 1-1\cdot 2=5\cdot\cos\alpha

0=5\cdot\cos\alpha

\cos\alpha=0

מכפלה סקלרית שווה לאפס אם ורק אם שני הווקטורים במכפלה מאונכים, כלומר קיבלנו שמתקיים:

\vec{AB}\bot\vec{BC}

מכאן, הזווית ביניהם זווית ישרה:

\alpha=90^{\circ}

באופן דומה, אפשר לבדוק את שאר הזוויות.

מכיוון שהצלעות שוות באורכן והזוויות ישרות, המרובע ABCD הוא ריבוע.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה