תרגיל
הוכיחו שהנקודות:
A(2,1),B(4,0),C(5,2),D(3,3)
יוצרות ריבוע ABCD.
פתרון מפורט
ריבוע הוא מרובע בעל 4 צלעות שוות ו-4 זוויות ישרות. ניצור מהנקודות וקטורים ונחשב את אורכם.
\vec{AB}=(4,0)-(2,1)=(2,-1)
\vec{BC}=(5,2)-(4,0)=(1,2)
\vec{CD}=(3,3)-(5,2)=(-2,1)
\vec{DA}=(2,1)-(3,3)=(-1,-2)
נחשב את אורך הווקטורים:
|\vec{AB}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}
|\vec{BC}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}
|\vec{CD}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}
|\vec{DA}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}
כל הווקטורים בעלי אותו אורך כנדרש. נבדוק שהזוויות ישרות:
\vec{AB}\cdot\vec{BC} =|\vec{AB}|\cdot |\vec{BC}|\cdot\cos\alpha
נציב את הנתונים:
(2,-1)\cdot (1,2) =\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos\alpha
2\cdot 1-1\cdot 2=5\cdot\cos\alpha
0=5\cdot\cos\alpha
\cos\alpha=0
מכפלה סקלרית שווה לאפס אם ורק אם שני הווקטורים במכפלה מאונכים, כלומר קיבלנו שמתקיים:
\vec{AB}\bot\vec{BC}
מכאן, הזווית ביניהם זווית ישרה:
\alpha=90^{\circ}
באופן דומה, אפשר לבדוק את שאר הזוויות.
מכיוון שהצלעות שוות באורכן והזוויות ישרות, המרובע ABCD הוא ריבוע.
מ.ש.ל.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
