fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

וקטורים – הוכחה ששלוש נקודות נתונות יוצרות משולש ישר זווית – תרגיל 4491

תרגיל 

הוכיחו שהנקודות:

A(6,-4,2),B(3,2,3),C(3,-5,-1)

יוצרות משולש ישר זווית ABC.

הוכחה

צריך להראות שיש במשולש זווית ישרה. ניצור שני וקטורים:

\vec{AB}=(3,2,3)-(6,-4,2)=(-3,6,1)

\vec{AC}=(3,-5,-1)-(6,-4,2)=(-3,-1,-3)

נחשב את אורך הווקטורים:

|\vec{AB}|=\sqrt{3^2+6^2+1^2}=\sqrt{46}

|\vec{AC}|=\sqrt{3^2+1^2+3^2}=\sqrt{19}

נחשב את הזווית ביניהם בעזרת הנוסחה של מכפלה סקלרית:

\vec{AB}\cdot\vec{AC} =|\vec{AB}|\cdot |\vec{AC}|\cdot\cos\alpha

נציב את הנתונים:

(-3,6,1)\cdot (-3,-1,-3) =\sqrt{46}\cdot\sqrt{19}\cdot\cos\alpha

-3\cdot (-3)+6\cdot (-1)+1\cdot (-3)=\sqrt{46}\cdot\sqrt{19}\cdot\cos\alpha

0=\sqrt{46}\cdot\sqrt{19}\cdot\cos\alpha

\cos\alpha=0

מכפלה סקלרית שווה לאפס אם ורק אם שני הווקטורים במכפלה מאונכים, כלומר קיבלנו שמתקיים:

\vec{AB}\bot\vec{AC}

מכאן, הזווית ביניהם זווית ישרה:

\alpha=90^{\circ}

הערה: אם הזווית לא הייתה ישרה, היינו מנסים את הזוויות האחרות במשולש.

מכיוון שמצאנו זווית ישרה במשולש, המשולש ABC הוא משולש ישר זווית.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה