איך ללמוד ולהצליח בקורס חדו"א?

וקטורים – הוכחה ששלוש נקודות נתונות יוצרות משולש ישר זווית – תרגיל 4491

תרגיל 

הוכיחו שהנקודות:

A(6,-4,2),B(3,2,3),C(3,-5,-1)

יוצרות משולש ישר זווית ABC.

פתרון מפורט

צריך להראות שיש במשולש זווית ישרה. ניצור שני וקטורים:

\vec{AB}=(3,2,3)-(6,-4,2)=(-3,6,1)

\vec{AC}=(3,-5,-1)-(6,-4,2)=(-3,-1,-3)

נחשב את אורך הווקטורים:

|\vec{AB}|=\sqrt{3^2+6^2+1^2}=\sqrt{46}

|\vec{AC}|=\sqrt{3^2+1^2+3^2}=\sqrt{19}

נחשב את הזווית ביניהם בעזרת הנוסחה של מכפלה סקלרית:

\vec{AB}\cdot\vec{AC} =|\vec{AB}|\cdot |\vec{AC}|\cdot\cos\alpha

נציב את הנתונים:

(-3,6,1)\cdot (-3,-1,-3) =\sqrt{46}\cdot\sqrt{19}\cdot\cos\alpha

-3\cdot (-3)+6\cdot (-1)+1\cdot (-3)=\sqrt{46}\cdot\sqrt{19}\cdot\cos\alpha

0=\sqrt{46}\cdot\sqrt{19}\cdot\cos\alpha

\cos\alpha=0

מכפלה סקלרית שווה לאפס אם ורק אם שני הווקטורים במכפלה מאונכים, כלומר קיבלנו שמתקיים:

\vec{AB}\bot\vec{AC}

מכאן, הזווית ביניהם זווית ישרה:

\alpha=90^{\circ}

הערה: אם הזווית לא הייתה ישרה, היינו מנסים את הזוויות האחרות במשולש.

מכיוון שמצאנו זווית ישרה במשולש, המשולש ABC הוא משולש ישר זווית.

מ.ש.ל.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה