fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב נגזרת – הוכחת משוואה של נגזרות – תרגיל 6284

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

y=\frac{1}{x^2-1}

הוכיחו שמתקיים:

2y'^2-y\cdot y''=2y^3

הוכחה

ראשית, נחשב את הנגזרת הראשונה ואת הנגזרת השנייה, כי הן מופיעות במשוואה שצריך להוכיח.

y=\frac{1}{x^2-1}

נגזור בעזרת כלל המנה בכללי הגזירה ובנוסחאות גזירהנקבל:

y'=\frac{-2x}{{(x^2-1)}^2}

נחשב את הנגזרת השנייה (גוזרים את הנגזרת הראשונה) ונקבל:

y''=\frac{-2{(x^2-1)}^2+2x\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{{(x^2-1)}^4}=

נסדר את הנגזרת השנייה:

=\frac{-2{(x^2-1)}^2+8x^2\cdot (x^2-1)}{{(x^2-1)}^4}=

=\frac{(x^2-1)(-2(x^2-1)+8x^2)}{{(x^2-1)}^4}=

=\frac{-2x^2+2+8x^2}{{(x^2-1)}^3}=

=\frac{6x^2+2}{{(x^2-1)}^3}

נציב את הפונקציה ואת הנגזרות באגף שמאל של המשוואה שצריך להוכיח, וננסה להגיע לביטוי שבאגף ימין.

2y'^2-y\cdot y''=

=2\cdot {(\frac{-2x}{{(x^2-1)}^2})}^2-\frac{1}{x^2-1}\cdot \frac{6x^2+2}{{(x^2-1)}^3}=

=\frac{8x^2}{{(x^2-1)}^4}-\frac{6x^2+2}{{(x^2-1)}^4}=

=\frac{8x^2-6x^2-2}{{(x^2-1)}^4}=

=\frac{2x^2-2}{{(x^2-1)}^4}=

=\frac{2(x^2-1)}{{(x^2-1)}^4}=

=\frac{2}{{(x^2-1)}^3}=

=2y^3

הצלחנו להגיע לאגף ימין במשוואה.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה