תרגיל
נתונה הפונקציה:
y=\frac{1}{x^2-1}
הוכיחו שמתקיים:
2y'^2-y\cdot y''=2y^3
פתרון מפורט
ראשית, נחשב את הנגזרת הראשונה ואת הנגזרת השנייה, כי הן מופיעות במשוואה שצריך להוכיח.
y=\frac{1}{x^2-1}
נגזור בעזרת כלל המנה בכללי הגזירה ובנוסחאות גזירה. נקבל:
y'=\frac{-2x}{{(x^2-1)}^2}
נחשב את הנגזרת השנייה (גוזרים את הנגזרת הראשונה) ונקבל:
y''=\frac{-2{(x^2-1)}^2+2x\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{{(x^2-1)}^4}=
נסדר את הנגזרת השנייה:
=\frac{-2{(x^2-1)}^2+8x^2\cdot (x^2-1)}{{(x^2-1)}^4}=
=\frac{(x^2-1)(-2(x^2-1)+8x^2)}{{(x^2-1)}^4}=
=\frac{-2x^2+2+8x^2}{{(x^2-1)}^3}=
=\frac{6x^2+2}{{(x^2-1)}^3}
נציב את הפונקציה ואת הנגזרות באגף שמאל של המשוואה שצריך להוכיח, וננסה להגיע לביטוי שבאגף ימין.
2y'^2-y\cdot y''=
=2\cdot {(\frac{-2x}{{(x^2-1)}^2})}^2-\frac{1}{x^2-1}\cdot \frac{6x^2+2}{{(x^2-1)}^3}=
=\frac{8x^2}{{(x^2-1)}^4}-\frac{6x^2+2}{{(x^2-1)}^4}=
=\frac{8x^2-6x^2-2}{{(x^2-1)}^4}=
=\frac{2x^2-2}{{(x^2-1)}^4}=
=\frac{2(x^2-1)}{{(x^2-1)}^4}=
=\frac{2}{{(x^2-1)}^3}=
=2y^3
הצלחנו להגיע לאגף ימין במשוואה.
מ.ש.ל.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
